¿Se plantean convencionalmente los índices dentro o fuera de las derivadas parciales en la relatividad general?

Question

Si $A_\mu$ es una forma única, entonces ¿existe una convención ampliamente aceptada entre los físicos sobre si la notación $$\partial_\mu A^\mu \tag{1}$$ significa "la derivada parcial de la cuatro-divergencia del cuatro-vector $A^\mu$ correspondiente a $A_\mu$ ", es decir $$\partial_\mu (g^{\mu \nu} A_\nu),\tag{2}$$ o simplemente $$g^{\mu \nu} \partial_\mu A_\nu~?\tag{3}$$

La primera definición corresponde más naturalmente a nuestra definición habitual de la derivada parcial, pero tiene la desafortunada propiedad de que $\partial_\mu A^\mu \neq \partial^\mu A_\mu$ . Para las derivadas parciales superiores, ¿adoptamos la convención de que todas las derivadas parciales se toman antes de ¿subiendo o bajando algún índice, de modo que las contracciones son invariantes bajo el intercambio de qué índice se sube y cuál se baja? ¿O es que las derivadas parciales (en contraposición a las covariantes) se utilizan con tan poca frecuencia en la RG que no es necesario adoptar una convención general sobre su funcionamiento (después de todo, la cantidad $\partial_\mu A^\mu$ no es tensorial bajo ninguna de las dos convenciones)?

(Por favor, no cierre esta pregunta como si fuera de matemáticas y no de física. Esta pregunta se refiere a si existe una convención notacional aceptada entre físicos y no tiene nada que ver con las matemáticas).

Answer 1

La mayoría de las dudas de tus preguntas se pueden resolver si evitas llamar a un vector (o a un formulario) su coordenadas .

$A_{\mu}$ es no una forma única: $A = A_{\mu}dx^{\mu}$ es.

$g^{\mu\nu}$ es no un tensor: $g= g^{\mu\nu}e_{\mu}\otimes e_{\nu}$ es.

Como tal una cosa es sólo tomar derivadas parciales de algunas funciones con respecto a sus variables, a saber $$\sum_{\mu}\frac{\partial}{\partial x^{\mu}} A_{\mu}(x)$$ otra cosa es el contracción de un tensor es decir, hacer que el tensor actúe en alguna base dual, es decir $$\sum_{\mu\nu\sigma}(g^{\mu\nu}e_{\mu}\otimes e_{\nu})(A_{\sigma}dx^{\sigma}) = \sum_{\mu\nu\sigma}(g^{\mu\nu}A_{\sigma})\, e_{\mu}\, e_{\nu}(dx^{\sigma})$$ La convención es que sólo hay que llevar las bases sobre las que se actúa y ya está.

Answer 2

No la hay, porque las derivadas parciales no tienen sentido en la RG.

Las derivadas parciales pueden aparecer en dos lugares:

• Derivados exteriores
• Derivados de la mentira.

Obviamente, también pueden aparecer si se expande una derivada covariante, pero en ese caso no hay que subir o bajar las incidencias individuales.

Para las derivadas covariantes, no importa, porque $\nabla g=0$ para que puedas moverte libremente $g$ dentro o fuera de la derivada y entonces tenemos $\nabla_\mu A^\mu=\nabla^\mu A_\mu$ .

Para las derivadas de Lie, se pueden expresar con derivadas covariantes. Sin embargo, es importante, porque las derivadas de Lie hacen no viajar con $g$ , a menos que su campo vectorial sea un campo de muerte, por lo que tenemos $\mathcal L_X A^\mu\neq(\mathcal L_X A_\nu)g^{\mu\nu}$ En este caso, hay que especificar si se sube/baja antes o después de la derivada de Lie. Sin embargo, tengo que decir que la notación del índice encaja muy mal con la notación de la derivada de Lie.

Para las derivadas exteriores, puedes expresarlo con derivadas covariantes, y además, la derivada exterior tiene sentido si y sólo si, la calculas sobre una forma diferencial, que son, por definición, de menor índice.

Como decía AccidentialFourierTransform en los comentarios, el tema es más interesante si tienes varias conexiones y/o varias métricas y/o una conexión no compatible. Cada vez que he visto este tipo de situaciones en la literatura física, los aumentos/disminuciones se escribían explícitamente, o se declaraba una convención de antemano pero como estas ocurrencias son bastante específicas, no se puede hacer una convención definitiva en general .

Answer 3

Comentarios al post (v4):

1. Si $A^{\mu}$ se supone que son (componentes de) un campo vectorial, es decir, un campo tensorial contravariante (1,0), entonces la expresión (1) es no una divergencia. A divergencia de un campo vectorial en un colector pseudo-riemanniano es un campo escalar, es decir, un campo tensorial (0,0), y tiene la forma local $${\rm div} A~=~ \frac{1}{\sqrt{|g|}}\partial_{\mu} (\sqrt{|g|} A^{\mu}) \tag{A}$$

2. Del mismo modo, si $A_{\nu}$ se supone que son (componentes de) un campo covectorial, es decir, un campo tensorial covariante (0,1), entonces la expresión (3) es no un campo tensorial (0,0).

3. Aparte de la importante objeción acerca de no trabajar con cantidades no covariantes, si OP está simplemente preguntando acerca de las convenciones para un atajo notacional para trabajar con una derivada parcial $$\partial^{\mu}\tag{B}$$ con índice elevado, digamos, en un contexto relativista general, parece más conveniente dejar que la métrica sea fuera, es decir $$\partial^{\mu}~:=~g^{\mu\nu}\partial_{\nu}.\tag{C}$$ Por ejemplo, el Operador de Laplace-Beltrami se convertiría entonces en $$\Delta~=~\frac{1}{\sqrt{|g|}}\partial_{\mu}\sqrt{|g|}\partial^{\mu}.\tag{D}$$ Pero realmente no podemos recomendar la notación (B) fuera de un contexto relativista especial para no crear confusiones innecesarias.