Demostrar la identidad de Lagrange sin inducción

Question

Demostrar la identidad de Lagrange sin inducción.

$$\sum_{1\leq j <k\leq n}(a_jb_k-a_kb_j)^2=\left( \sum_{k=1}^na_k^2 \right)\left( \sum_{k=1}^n b_k^2 \right)-\left( \sum_{k=1}^na_kb_k \right)^2$$

Intenté expandir el lado izquierdo pero nunca pude llegar a ningún lado, estoy buscando algunos consejos sobre cómo empezar en la dirección correcta, soluciones no completas .

Gracias.

Answer 1

Una pista:

Hay que jugar con los índices. Desarrollar la suma de cuadrados, eliminando primero la condición $j<k$ y sustituyendo por $j\neq k$ (esto anulará un factor $2$ ), a continuación, observe el caso $j=k$ no aporta ningún término suplementario. Cuando todas las condiciones de $j$ y $k$ se han eliminado, es fácil de factorizar.

$$\sum_{1\le j < k\le n}(a_jb_k- a_kb_j)^2 = \sum_{1\le j < k\le n}(a_jb_k)^2 -2\sum_{1\le j < k\le n} a_j a_k b_j b_k + \sum_{1\le j < k\le n}(a_kb_j)^2$$ Tenga en cuenta que $\displaystyle\sum\limits_{1\le j < k\le n}(a_jb_k)^2 + \sum\limits_{1\le j < k\le n}(a_kb_j)^2$ puede escribirse como $\displaystyle\sum\limits_{1\le j\neq k\le n}(a_jb_k)^2$ .

También $\, \displaystyle 2\!\!\!\sum\limits_{1\le j < k\le n} a_j a_k b_jb_k =\!\!\!\sum\limits_{1\le j \neq k\le n} a_j a_k b_jb_k$ , por lo que nuestra suma de cuadrados es $\displaystyle\sum\limits_{1\le j\neq k\le n}(a_jb_k)^2 -\sum\limits_{1\le j \neq k\le n} a_j a_k b_jb_k$

Por último, obsérvese que en la última fórmula, para $j = k$ los términos se cancelarían, ya que su contribución sería igual a $$\sum\limits_{1\le j\le n}(a_jb_j)^2 -\sum\limits_{1\le j \le n} a_j^2 b_j^2$$ Así, podemos incorporar el caso $j=k$ a nuestra suma original de cuadrados, que finalmente será igual a: $$\begin{align*}\sum_{1\le j, k\le n}(a_jb_k)^2 -\sum_{1\le j ,k\le n} a_j b_j a_k b_k& =\sum_{1\le j\le n}a_j^2\sum_{1\le j\le n}b_j^2 -\Bigl(\sum_{1\le j \le n} a_j b_j\Bigr)\Bigl(\sum_{1\le j \le n} a_j b_j\Bigr)\\&=\sum_{1\le j\le n}a_j^2\sum_{1\le j\le n}b_j^2 -\Bigl(\sum_{1\le j \le n} a_j b_j\Bigr)^2 \end{align*}$$

Answer 2

Ambas expresiones son de la forma $\sum_{\substack{i \leq j \\ k \leq \ell}} C_{i,j,k,\ell} a_i a_j b_k b_\ell$ y se puede calcular el coeficiente de $a_i a_j b_k b_\ell$ en ambos lados, mostrando que es igual en todos los casos.