ayúdame a encontrar el contraejemplo

Question

Para dos topologías comparables sobre un conjunto X, la compacidad de la más grande (más grande en el sentido de la contención) implica la compacidad de la más pequeña, ¿alguien puede ayudarme a encontrar un ejemplo de dos topologías comparables en las que la compacidad esté presente en la topología más pequeña y no en la más grande? ( menor y mayor según la contención)

Answer 1

Dejemos que $\langle X,\tau\rangle$ sea cualquier espacio compacto de Hausdorff, y sea $\tau'$ sea cualquier topología estrictamente más fina que $\tau$ Entonces $\langle X,\tau'\rangle$ no es compacto.

Prueba. El mapa de identidad $\mathrm{id}_X:X\to X:x\mapsto x$ es continua como un mapa de $\langle X,\tau'\rangle$ a $\langle X,\tau\rangle$ ya que para cada $U\in\tau$ tenemos $\mathrm{id}_X^{-1}[U]=U\in\tau'$ . Desde $\tau'\supsetneqq\tau$ Hay un $K\subseteq X$ tal que $X\setminus K\in\tau'\setminus\tau$ es decir, tal que $K$ es $\tau'$ -cerrado pero no $\tau$ -cerrado. Supongamos que $\langle X,\tau'\rangle$ es compacto. Entonces el $\tau'$ -conjunto cerrado $K$ es compacto en $\langle X,\tau'\rangle$ , por lo que su imagen continua $\mathrm{id}_X[K]=K$ es compacto en $\langle X,\tau\rangle$ contradiciendo el hecho de que todo conjunto compacto en un espacio de Hausdorff es cerrado. $\dashv$

Este resultado facilita la búsqueda de ejemplos. Tomando $\tau'$ para ser la topología discreta en $X$ es por supuesto una forma que siempre funciona, siempre y cuando $X$ es infinito. Un par de ejemplos más interesantes son el Topología Sorgenfrey (o de límite inferior) en $[0,1]$ y el Topología de la línea Michael en $[0,1]$ . El primero tiene como base todos los intervalos de la forma $[a,b)$ avec $0\le a<b\le 1$ junto con el singleton $\{1\}$ . Este último se obtiene aislando cada número irracional en $[0,1]$ Así que si $\tau$ es la topología habitual en $[0,1]$ la topología de la línea de Michael tiene como base la familia $\tau\cup\big\{\{x\}:x\in[0,1]\setminus\Bbb Q\big\}$ . Ambas topologías son bastante agradables; encontrarás algunas de sus buenas propiedades en los enlaces.

Answer 2

"Más fino" y "más grueso" son palabras a las que estoy acostumbrado en este contexto. $T$ es más fino que $S$ y $S$ es más grueso que $T$ si $S\subseteq T$ . Si $X$ es compacto con la topología más fina, entonces $X$ es compacto con el más grueso (por lo que me parece que lo tenías al revés). Toma la esfera con la topología habitual y también con la discreta; es compacta en la habitual y no en la discreta. Eso es un poco extremo. Probablemente haya ejemplos más sutiles e interesantes.