cómo hallar la inversa de una matriz en $\Bbb Z_5$

Question

Cómo hallar la inversa de una matriz en $\Bbb Z_5$ por favor, ayúdame explícitamente cómo encontrar la inversa de la matriz a continuación, lo que yo estaba pensando que para encontrar inversa por separado de la cada término en $\Bbb Z_5$ y luego formar la matriz?

$$\begin{pmatrix}1&2&0\\0&2&4\\0&0&3\end{pmatrix}$$

Gracias, señor.

Answer 1

Quizás la forma más fácil en este caso (aunque no la más fácil en general) sea escribir $$A^{-1} = \left( \begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array}\right)$$ y luego hacer la multiplicación $A \cdot A^{-1} = I$ . Se produce una bonita cancelación (que no ocurre en general), y ahí tienes tu inversa.

En términos más generales, siempre puedes hacer operaciones de fila para encontrar tu matriz. Hay que tener un poco de cuidado, ya que, por ejemplo, la división por $2$ no está definida, aunque la multiplicación por $3$ se define. Las operaciones de fila están permitidas en general, aunque no todos los elementos de $\mathbb{Z}_n$ es invertible. Dado que $n = 5$ es primo, entonces $\mathbb{Z}_5$ es un campo y, por tanto, cada unidad distinta de cero es invertible.

Answer 2

Recuerda que puedes calcular la inversa de una matriz reduciéndola a la forma escalonada. Es decir, establece la $3\times 6$ matriz $ (A \vert I)$ donde $A$ es la matriz que se desea invertir y $I$ la matriz unitaria. Cuando hayas terminado el proceso, obtendrás una matriz como $(I\vert A^{-1})$ y la matriz de la derecha, ¡sí!, es la inversa de $A$ . (Para más información sobre este enfoque, véase Hoffman y Kunzi). Personalmente, prefiero este enfoque. El punto que nos debe importar es que: Al hacer el camino, siempre que necesitemos multiplicar un número por otro, consideramos la operación en $\mathbb Z_5$ . Por ejemplo, si queremos multiplicar la fila $$(120)$$ por 3, tenemos, en efecto $$3(120)=(403)$$ porque $3\times 1=3+1=4$ y $3\times 2=3+2=5=0$ .

Answer 3

Pista: Utiliza el matriz adjunta .

Contesta: La matriz de cofactores de $A$ viene

$\color{grey}{C_A= \begin{pmatrix} +\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} \\ +\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 4 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 6 & 0 & 0 \\ -6 & 3 & 0 \\ 8 & -4 & 2 \end{pmatrix}=} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 3 & 0 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}.$

Por lo tanto, la matriz adjunta de $A$ es

$\color{grey}{\text{adj}(A)=C_A^T= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & 3 & 0 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}^T=} \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ .

Desde $\det{(A)}=1$ se deduce que $A^{-1}=\text{adj}(A)= \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ .

Y lo confirmamos multiplicando las matrices:

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 3\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 5 \\ 0 & 6 & 15 \\ 0 & 0 & 6\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$ .

Answer 4

"Estaba pensando que para encontrar los inversos por separado de cada término en Z5 y luego formar la matriz?" Tal y como yo interpreto esa frase estás diciendo que $(a_{ij})^{-1}=(a_{ij}^{-1})$ lo cual no es cierto.

Para hallar la inversa de una matriz no basta con tomar la inversa de cada elemento. Ahora, para responder a la pregunta, depende de cómo / qué se puede utilizar para calcular la inversa. Si lo haces a mano, entonces haz una tabla rápida de suma y multiplicación de $\mathbb{Z_5}$ y hallar la inversa exactamente igual que con los números reales, salvo que todas las sumas, restas, multiplicaciones y divisiones deben hacerse en $\mathbb{Z_5}$ .

Si utilizas Matlab, por ejemplo, entonces (en general) sólo tienes que tomar la inversa "normal" (sobre los reales), multiplicar cada entrada de la matriz por el determinante (real) que convertiría todas las entradas en enteros si tuvieras decimales/racionales. A continuación, multiplique todas las entradas de la matriz por la inversa multiplicativa del determinante en $\mathbb{Z_5}$ para "deshacer" la multiplicación real que hiciste. Todavía tienes todos los enteros. Luego reduces mod 5 y listo.

En tu caso, el determinante en reales es 6, lo que significa que el determinante sobre $\mathbb{Z_5}$ es 1. Regla general, si el determinante es invertible en cualquier sistema numérico en el que trabajes, la matriz también será invertible. Así que en este caso tu matriz es invertible Y no tienes que hacer los dos últimos pasos en los que multiplicas por el determinante y luego por su inversa.