¿Que series convergen o divergen?

Question

¿La serie $$\sum \limits _{n=3}^\infty \frac{(-1)^{[\log n]}}{\sqrt{n}}$$ converge or diverge? As usually, $[x]$ denotes the integer part of $x.$

Answer 1

Calcular la suma, $n=\lceil e^k\rceil$$\lfloor e^{k+1}\rfloor$. Hay alrededor de $(e-1)e^k$ términos. Cada uno tiene el mismo signo, y cada uno tiene valor absoluto $\ge \frac{1}{\sqrt{e^{k+1}}}$. Por lo que el Criterio de Cauchy para las sumas parciales falla, y la serie no converge.