Demuestra que este polinomio entra dentro de $\mathbb R[x]$

Question

[ El problema de abajo es de Yao Musheng (), Wu Quanshui (), Álgebra avanzada () Ed $2$ Fudan University Press, página $207$ . ]

Supongamos que $f(x)\in \mathbb C[x]$ . Si $\forall c\in \mathbb R$ , $f(c)\in\mathbb R$ , $$f(x)\in \mathbb R[x].$$

Mi intento es el siguiente:
Por comodidad, primero especifico que y $\deg f(x)\ge 2$ (por lo demás, es fácil de demostrar). Supongamos que $f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_{n-1}x^{n-1}+a_nx^n\notin \mathbb R[x]$ entonces al menos uno de sus coeficientes, digamos $a_i$ no es un número real. Por lo tanto $a_i=A+Bi$ donde $B\ne 0$ y que $\tilde{f}(x):=f(x)-a_ix^i$ .
Si $\tilde{x}\ne 0$ y satisface $\tilde{f}(\tilde{x})=0$ entonces $$f(\tilde{x})=a_i\tilde{x}^i$$ Si $\tilde{x}$ es real, entonces también lo es $\tilde{x}^i$ . Pero $a_i$ no es real, por lo tanto $f(\tilde{x})=a_i\tilde{x}^i$ no es real. Sin embargo, puesto que $\tilde x\in\mathbb R$ , $f(\tilde{x})$ debe ser real. Contradicción. Por lo tanto $\tilde{x}$ no puede ser real. Entonces no sé cómo proceder.
He intentado refutar la posibilidad de $\tilde{x}=0$ caso porque eso no parece conducir a nada. Pero también fallé.
Parece que me he metido en un callejón sin salida. Ahora estoy luchando de verdad con este problema. ¿Alguien podría darme una pista o ayudarme? Saludos cordiales.

Answer 1

Escriba a $f(x) = u(x) + i\,v(x)$ con $u,v \in \mathbb R[x]$ .

Por hipótesis, $v(c)=0$ para todos $c \in \mathbb R$ . Esto significa que $v=0$ porque tiene un número infinito de raíces.

Answer 2

Hay otro buen enfoque:

$f-f(0) = x \cdot h(x)$ con algún polinomio $h$ . Tenemos $h(c) = \frac{f(c)-f(0)}{c} \in \mathbb R$ para todos $c \in \mathbb R \setminus \{0\}$ . Por continuidad deducimos $h(0) \in \mathbb R$ Por lo tanto $h \in \mathbb R[x]$ por inducción en el grado.

Pero entonces claramente $f = x \cdot h(x) + f(0) \in \mathbb R[x]$ .

Answer 3

Demuestre que todas las derivadas superiores de $f$ a 0 son números reales ( sólo por primer principio y debería ser fácil). Nótese que todos los coeficientes se pueden obtener a partir de ellos.

Answer 4

Otra forma de resolver este problema es utilizar polinomios de Lagrange

Desde $P$ toma valores reales como mínimo $n+1$ puntos, que $\alpha_0,\ldots,\alpha_n\in\mathbb R$ sea tal que $P(\alpha_i)\in \mathbb R$ .

La interpolación de Lagrange nos dice que $\displaystyle P=\sum_{k=0}^n P(\alpha_k)\prod_{j\neq k}\frac{X-\alpha_j}{\alpha_k-\alpha_j}$

Por lo tanto $P\in\mathbb R[X]$

Esta prueba, así como la de lhf muestra que las hipótesis pueden ser debilitadas a " $P$ asume valores reales al menos $\deg P +1$ puntos reales (en lugar de toda la línea real)".

Answer 5

Sugerencia: Si $f(x)$ es un polinomio con término inicial $a_n x^n$ entonces $\lim_{x \to \infty} f(x)/x^n = a_n$ . Así que $a_n$ es real. ¿Puedes ver cómo proceder a partir de ahí, restando los términos principales de $f$ ?