Top 3 de 4 dados rollos

Question

Estoy tratando de demostrar por qué la media de la distribución de la suma de los top 3 de las 4 de la feria de 6 caras de los dados es rollos de 12.25. Cualquiera que rodar una D&D de carácter conoce la idea.

$r_n = Rand([1,6])$

$x = \frac{\sum_{i=1}^4{r_i} - min(r_i)}{3}$

Perdón por la notación, yo no estaba seguro de cómo definir adecuadamente el problema.

Así, llegué a derivar 12.25 con un programa de computadora que hace varios millones de iteraciones y viene con algo que se está acercando a la 12.25. Yo no sé por qué o cómo demostrarlo. Pensé en dividir el intervalo [1,6] en 4 igualdad de subconjuntos y agregar el punto medio de la parte superior 3. Pero eso no funcionó. Puede alguien explicar por qué es 12.25 y cómo demostrarlo?

Answer 1

Utilizamos la misma idea como Ross de Millikan. Con el fin de llevar a cabo la estructura, no va a ser como poco de cálculo como sea posible.

Deje que la variable aleatoria $X$ denotar el más pequeño rollo, y deje $Y$ denotar la suma de los tres grandes rollos. Entonces $$E(X)+E(Y)=E(X+Y)=14.$$ Calculamos $E(X)$. A partir de esto, $E(Y)$ es fácil de encontrar.

Deje $q_1$ la probabilidad de que $X\ge 1$, vamos a $q_2$ la probabilidad de que $X\ge 2$, y así sucesivamente. Entonces $P(X=1)=q_1-q_2$, $P(X=2)=q_2-q_3$, y así sucesivamente hasta que $P(X=6)=q_6$. Así $$E(X)=1\cdot(q_1-q_2)+2\cdot(q_2-q_3)+3\cdot(q_3-q_4)+4\cdot (q_4-q_5)+5\cdot (q_5-q_6) +6q_6.$$ Esto se simplifica a $$q_1+q_2+q_3+q_4+q_5+q_6.$$ Pero $$q_i=\frac{(7-i)^4}{6^4},\qquad\text{y por lo tanto}\qquad E(X)=\frac{1^4+2^4+3^4+4^4+5^4+6^4}{6^4}.$$

Comentario: Vamos a $W$ ser una variable aleatoria que sólo toma valores enteros. Para cualquier entero positivo $n$, vamos a $q_n=P(W\ge n)$. Entonces $$E(W)=\sum_{n=1}^\infty q_n,$$ siempre que la suma está definida.

Answer 2

Un método consiste en encontrar el número de rollos con cada número como el más bajo. Hay solamente un rollo con $6$ mínimo. Hay $2^4-1=15$ $5$ mínimo. Esto sigue del hecho de que hay rollos de $6^4-5^4=1296-625$ $1$ mínimo. El total de los dados están $129643.5=18144$ los dados lanzados hacia fuera son $61+515+465+3175+2369+1671=2275$ por lo que la puntuación total después throwouts es $15869$, dando un promedio de alrededor de $12.2446$

Answer 3

Hay $6^4$ rollos que el mínimo es al menos $1$, $5^4$ rollos que el mínimo es de al menos $2$ y así sucesivamente. Así la suma sobre todos los mínimos es $1^4+2^4+3^4+4^4+5^4+6^4=2275$. Es un poco una exageración, pero si te gusta también puede calcular esta suma utilizando la fórmula general para la suma de los primeros poderes cuarto de $n$:

$$\sum{k=1}^6k^4=\left.\frac{n(n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1)}{30}\right|{n=6}=\frac{6\cdot7\cdot13\cdot125}{30}=2275\;.$$

Como Ross muestra en su respuesta, esto conduce a un promedio de alrededor de $12.2446$.