¿Método para determinar las simetrías en un polígono irregular (2D o 3D)?

Question

Gracias de antemano por ayudar.

Dado un polígono con $n$ vértices, $$P = \begin{bmatrix} x_{1} & x_{2} & ... & x_{n} \\ y_{1} & y_{2} & ... & y_{n} \end{bmatrix}$$ cómo se determina:

1) Los ejes de simetría, si los hay

2) Simetría radial (rotacional), si existe

3) Cualquier otro tipo de simetría (o algo $close$ a una simetría, si es que existe tal cosa)

Los métodos que implican álgebra lineal y/o teoría de grupos son más que bienvenidos.

Y si puedes sugerir, ¿alguna idea para encontrar simetrías en polígonos tridimensionales? (No estoy seguro de cómo se llaman...) $$P = \begin{bmatrix} x_{1} & x_{2} & ... & x_{n} \\ y_{1} & y_{2} & ... & y_{n} \\ z_{1} & z_{2} & ... & z_{n} \end{bmatrix}$$

Answer 1

Un mapa afín invertible es una simetría del polígono si permuta los vértices. Tres vértices no colineales serán suficientes para determinar el mapa. Es conveniente utilizar coordenadas homogéneas, por lo que los vértices se representan como $\pmatrix{x_i\cr y_i\cr 1\cr}$ y la transformación es la multiplicación por un $3 \times 3$ matriz con la última fila $[ 0\; 0\; 1]$ . Entonces la transformación que toma tres vértices dados $v_1$ , $v_2$ , $v_3$ a otros tres vértices $v'_1$ , $v'_2$ , $v'_3$ se puede encontrar como la matriz $V' V^{-1}$ , donde $V$ es la matriz formada por las columnas correspondientes a $v_1, v_2, v_3$ y $V'$ la matriz formada por las columnas correspondientes a $v'_1, v'_2, v'_3$ .