$0^0$ en el teorema del binomio

Question

Supongamos que $y=0$ en

$$(x+y)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}x^{n-k}y^k$$

Entonces obtenemos $\binom{n}{0}x^{n-0}0^0$ como el primer término de la suma. Tratamos esto como un 1, normalmente, $0^0$ no es bien definido. ¿Qué me falta? ¿O $x$ y $y$ requerir que sea distinto de cero?

Answer 1

La razón $0^0$ no está definido es que no hay ninguna manera coherente de definición, el límite de $y^0$ $y \to 0$ es claramente $1$, mientras que el límite de $0^y$ $y \to 0^+$ es claramente nula. Pero puede ser formalmente definido para cualquier aplicación en particular.

Aquí si dejas $y$enfoque $0$ $n$ fijo te descubre que el límite que usted necesita para hacer la expresión continua en $y$ es $0^0=1$ - por lo que formalmente puede indicar que este es el valor que usted está tomando para esta aplicación.

Answer 2

A menudo es una buena para definir $0^0=1$, pero hay algunas advertencias. Es decir, $$\lim_{x\to0}\lim_{y\to0}x^y = 1 \neq 0 = \lim_{y\to0}\lim_{x\to0}x^y.$$ En una combinatoria configuración de este problema no se plantea.

Si desea una razón por la $0^0=1$ "combinatorically", considere lo siguiente. Para $n,m$ enteros positivos hay $n^m$ diferentes funciones a partir de un conjunto de $m$ elementos de un conjunto de $n$ elementos. Lo que si $n=0$ o $m=0$? Si $m=0$$n\geq0$, sólo hay una función (la función vacía). Si $m>0$$n=0$, no hay ninguna función, ya que no hay valor posible asignar a su $m$ puntos.

Answer 3

En la $$(x+y)^n = \sum{k=0}^n \binom{n}{k}x^{n-k}y^k={n\choose0}x^ny^0+\sum{k=1}^n \binom{n}{k}x^{n-k}y^k $$the first term (which has been extracted above) ALWAYS has $k=0$; $k$ is not a variable (notice there is no $k$ on the LHS). The sum on the RHS has no restrictions on $x,y$, and the first term has the restriction $y\neq0$. But we take$$ \lim{y\to0}{n\choose0}x^n y^0={n\choose0}x^n$$ suma de esto podemos definir $0^0=1$ por lo que no tenemos que tomar cada vez de un límite y recibir el mismo resultado. Por cierto es acercado en este contexto, es la forma más natural de definir $0^0$. Esto es por qué, por ejemplo, no definimos $0^0=\lim{y\to0}0^y=0$ aquí. En otros contextos sin embargo, la definición mencionada sólo puede ser más conveniente o natural.