Resolver un sistema de ecuaciones no lineales de matriz

Question

Considere el siguiente conjunto de ecuaciones $$ \begin{cases}PAQ^{-1}&=T \ QBR^{-1}&=T\ RCP^{-1}&=T, \end{casos} $$ donde A, B, C y T son conocidas % valor real $3\times3$matrices P, Q, R son lo desconocido (% valor real, $3\times3$tamaño, inversible matrices).

¿Es allí una solución analítica para este sistema de ecuaciones?

Si no es así, entonces considere uno o más de las flexibilidades siguientes:

1. $T = I_3$ $T=\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\ 0 & 0 & 0\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$
2. A, B, C son inversible
3. Soluciones numéricas son también aceptables

Answer 1

Podemos multiplicar el dado de ecuaciones en diferentes órdenes a conseguir:

$T^3 = PABCP^{-1} = QBCAQ^{-1} = RCABR^{-1}$

Así, con el fin de buscar una solución para existir, necesitamos $ABC$, $BCA$, $CAB$, y $T^3$ a ser similar matrices.

Si ese es el caso, tenemos las siguientes:

$P(ABC) = T^3P$

$Q(BCA) = T^3Q$

$R(CAB) = T^3R$

Mediante la vectorización de la operación, estas ecuaciones son:

$((ABC)^T \otimes I - I \otimes T^3)\text{vec}(P) = 0$

$((BCA)^T \otimes I - I \otimes T^3)\text{vec}(Q) = 0$

$((CAB)^T \otimes I - I \otimes T^3)\text{vec}(R) = 0$

donde $\otimes$ denota el producto de Kronecker.

Esto le da un $9 \times 9$ sistema lineal para cada matriz $P,Q,R$. Cada sistema debe ser el rango deficiente, por lo que debe obtener al menos un unidimensional nullspace de soluciones para cada matriz. (Lo cual tiene sentido porque si $(P,Q,R)$ es una solución, por lo que es $(kP,kQ,kR)$ por el no-cero constante $k$).

Después de resolver una de estas ecuaciones para uno de $P$ o $Q$ o $R$, los otros dos se determina únicamente con el original de tres ecuaciones. La pregunta que queda es ¿se puede conseguir de dos (o más) dimensiones nullspace para todas estas ecuaciones, y qué hacer si eso sucede.