En un ejercicio, se indica lo siguiente:
Definir $f : \text{GL}_3(\mathbb{R})\to \mathbb{R}^{3 \times 3} : X \mapsto \frac{1}{2}(X+(X^\top)^{-1})$. Para un determinado invertible $X_1$, repetimos y crear una secuencia $(X_n)_{n \in \mathbb{N}}$: $$X_{n+1} := f(X_n).$$
Esto, por supuesto, sólo puede ser cuando está bien definido, que es exactamente cuando $X+(X^\top)^{-1}$ es invertible. Esto es lo que hay que probar. Tengo la sensación de que me falta algo, como las cosas que he probado hasta ahora no han funcionado; me parece no puede encontrar una inversa de a $X+(X^\top)^{-1}$, y calcular su determinante parece demasiado para trabajar fuera, como no hay muchos puntos por resolver la cuestión. Cualquier sugerencias?
Edit: como se pide en un comentario, aquí está toda la cuestión con más detalle.
Considere la ecuación de $x^2 -1 = 0$ $x \in (0,\infty)$ con el único punto fijo de la $\alpha = 1$. Formulación de Newton de la corrección de iteración de punto para este problema.
Con $X_1$ una invertible matriz diagonal, demostrar la secuencia indicado más arriba (en la pregunta que le hice a) converge y dar el límite de la secuencia.
Con $X_1$ ahora arbitraria invertible la matriz, muestran la secuencia está bien definido y dar el límite.
Escrito $Q = \lim_{n \to \infty} X_n$ $H = X_1 Q^\top$ (por lo $X_1 = HQ$), muestran que la $HQ$ es una descomposición polar de $X_1$.
