El producto tensorial suele construirse en una prueba de existencia haciendo referencia a un espacio cociente bastante esotérico con el que "resulta" difícil trabajar en general. La propiedad universal de la factorización bilineal parece mucho más natural y motivada, pero ¿es suficiente, por ejemplo, demostrar que el producto tensorial es conmutativo o que una base para el producto tensorial es conmutativa? $V\otimes W$ es $\{e_i\otimes f_i\}$ sin referirse a esta construcción?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?Sí, por supuesto. Después de todo, los objetos universales son únicos hasta el isomorfismo canónico, por lo que debería ser posible hacer todo (o al menos la mayoría) de forma abstracta.
Por ejemplo $V\otimes W\cong W\otimes V$ se deduce inmediatamente de $V\times W\cong W\times V$ vía $(v,w)\mapsto(w,v)$ que respeta la bilinealidad.
Que el $v\otimes w$ span $V\otimes W$ se deduce del hecho de que su tramo también tendría la propiedad universal, de ahí la inclusión de su tramo en $V\otimes W$ es la identidad.
Y que cualquier identidad lineal entre $\{v_i\otimes w_j\}_{i,j}$ produce una identidad lineal entre los $v_i$ o entre los $w_j$ también debería seguir bastante rápido porque entonces todo factoriza sobre el cociente
Respuesta corta: sí.
¿En qué sentido quieres decir que el producto tensorial es conmutativo? Que la conmutación $V$ y $W$ en $V\otimes W$ da un espacio isomorfo a $W\otimes V$ ? Entonces podemos demostrarlo de la siguiente manera: $W\otimes V$ satisface la misma propiedad universal que $V\otimes W$ por lo que deben ser isomórficas. Consideremos cualquier mapa bilineal $f$ de $V\times W \to T$ se obtiene naturalmente un mapa de $W\times V \to T$ cuyo factor es $W\otimes V$ .
Permítanme aclararlo con un diagrama conmutativo.
$\require{AMScd} \displaystyle \begin{CD} V\times W @>f>> T\\ @VVg=(v,w)\mapsto(w,v)V @|\\ W\times V @>f'(w,v)=f(v,w)>> T \\ @VV\varphi_{W\otimes V}V @|\\ W\otimes V @>f''>> T \end{CD}$
donde $\varphi_{W\otimes V}$ es el mapa tal que $(W\otimes V, \phi_{W\otimes V})$ tiene la propiedad universal con respecto a $W\times V$ y $f''$ es el mapa tal que $f'=f''\circ \varphi_{W\otimes V}$ por la propiedad universal de $W\otimes V$ .
Entonces $f=f''\circ(\varphi_{W\times V}\circ g)$ . Por lo tanto $(W\otimes V,\varphi_{W\otimes V}\circ g)$ tiene la misma propiedad universal que $V\otimes W$ por lo que los dos espacios son isomorfos.
Se pueden hacer cosas similares para demostrar la propiedad de base como se ha comentado en otras respuestas.
He aquí una bonita manera de ver el hecho sobre las bases que se generaliza a algo útil también. Una forma de enunciar la propiedad universal del producto tensorial de espacios vectoriales es que forma parte de una adjunción
$$\text{Hom}(U \otimes V, W) \cong \text{Hom}(U, [V, W])$$
donde $[V, W]$ denota el espacio vectorial de mapas lineales $V \to W$ . Esto dice que $(-) \otimes V$ es un adjunto izquierdo (con adjunto derecho $[V, -]$ ), y por tanto preserva los colímites; en particular, el producto tensorial distribuye sobre sumas directas (posiblemente infinitas) en ambas variables.
Ahora, dando $U$ una base equivale a escribirla como una suma directa de copias del $1$ -espacio vectorial dimensional $k$ ( $k$ el campo subyacente), y de forma similar para $V$ por lo que basta con distribuir sobre ambas sumas directas y (una vez que se demuestre que $k \otimes k \cong k$ que también se deduce de la propiedad universal) has escrito $U \otimes V$ como una suma directa de copias de $k$ etiquetados por pares de un vector base de $U$ y un vector base de $V$ .
Esta adyacencia existe con gran generalidad, por lo que se pueden deducir muchas afirmaciones análogas sobre, por ejemplo, la descomposición de la suma directa de un producto tensorial de representaciones de un grupo, o haces vectoriales sobre un espacio, etc.
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Una vez pensé en esto durante un largo viaje en tren. Estoy bastante seguro de que se puede demostrar todo si también se invocan propiedades universales de objetos libres, etc. Pero desde luego no lo he pensado a fondo. Me gusta esta pregunta y espero que tenga respuesta.
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Por ejemplo, si $\colon V × W V \otimes W$ es el mapa bilineal de la propiedad universal, y $V$ y $W$ son libres con bases $B V$ y $C W$ entonces para todos los espacios vectoriales/moudles $Z$ y todos los mapas $(B × C) Z$ existe un mapa $B × C (B×C) Z$ por lo que existe exactamente un mapa bilineal $V × W Z$ extendiendo este mapa y así hay, por la propiedad universal de los productos tensoriales, exactamente un lineal mapa $V \otimes W Z$ desplazamientos con $$ and the extended bilinear map on $ V × W $, so extending the map $ (B × C) Z $ - therefore, $ (B × C) $ is a basis of $ V \otimes W$.
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Aunque la respuesta sea afirmativa, no olvides que la "existencia" también es una propiedad bastante importante.