Un ejemplo de un anillo con muchos divisores de cero

Question

¿Existe un ejemplo de un anillo conmutativo $R$ con identidad tal que todos sus elementos diferentes de $1$ sean anuladores?

Sé que en un anillo finito todos los elementos son unidades o anuladores. ¿Existe un anillo finito con la propiedad que he mencionado?

Obviamente estoy requiriendo que $|R|\geq 3$.

Answer 1

¿Qué pasa con todas las funciones de $\mathbb Z$ a $\mathbb Z/2\mathbb Z$? Es un anillo que utiliza la adición y multiplicación de $\mathbb Z/2\mathbb Z$. La identidad es la función $f(x)=\overline 1$ $\forall$ $x$. Cada otra función es obviamente un divisor de cero.

Answer 2

Pista $\ $ Si $\,1\,$ es la única unidad, entonces $\,-1 = 1\,$ y el anillo es un álgebra sobre $\,\Bbb F_2.\,$ Con eso en mente, es fácil construir muchos ejemplos.

Estos anillos conmutativos - donde cada elemento $\ne 1$ es divisor de cero - fueron llamados $0$-anillos por Paul M. Cohn. Claramente incluyen los anillos booleanos, es decir, anillos donde cada elemento es idempotente $\,x^2-x,\,$ ya que entonces $\,x(x-1) = 0.\,$ Kaplansky preguntó sobre la existencia de $0$-anillos no-booleanos. Paul M. Cohn respondió a la pregunta en Anillos de Divisores de Cero. Allí dio una demostración simple de que todo anillo conmutativo R se puede incrustar en un anillo conmutativo S de manera que cada elemento sea o una unidad de R o un divisor de cero (y si R es un álgebra sobre un campo F entonces también lo es S). La prueba muestra además que todo ideal propio de R sobrevive (permanece propio) en S, con aniquilador no trivial. Cohn luego procedió a demostrar

${\bf Teorema\ 3\,\ }$ Sea $R\,$ un álgebra sobre $F$ en el cual cada elemento que no está en $F$ es un divisor de cero. Entonces $R$ es un subproducto directo de campos extensiones de $F,\,$ y todo $\,x\in R\,$ que no está en $\,F\,$ es trascendental sobre $F$, excepto si $\,F = \Bbb F_2$ y $\,x\,$ es idempotente. Además, si $R$ tiene dimensión finita sobre $F$ entonces o bien $R=F$ o $R\,$ es un álgebra booleana.

Answer 3

En cualquier anillo booleano (con identidad), la única unidad es la identidad.

Por lo tanto, en particular, $\prod_{i\in I} F_2$ para cualquier conjunto de índices no vacío $I$, y el campo de dos elementos $F_2$. De hecho, cualquier subanillo (con identidad) de dicho anillo funcionará.

Answer 4

Otro anillo isomórfico a la respuesta de Gregory que encuentro que vale la pena mencionar: $$(\mathcal{P}(\mathbb{Z}), \Delta, \cap),$$ donde $\Delta$ es diferencia simétrica. No es sorprendente que $\mathbb{Z}$ pueda ser reemplazado por cualquier conjunto.