Equivalencia entre la métrica constante y positiva y la métrica habitual$\Re^3$

Question

Estoy tratando de responder la siguiente pregunta:

¿Hay alguna métrica positiva y constante en$\Re³$ equivalente a la métrica de usal definida como$$ds² = dx² + dy² + dz² \tag{*}\label{1} $$ with $ ds = g_ {ij} dx ^ {i} dx ^ {j}$ and $ g_ {ij} = \ delta_ {ij}$. Or alternatively, does always exist a coordinate transformation from the coordinates $ y ^ \ mu$ to the coordinates $ x ^ i$ such that \eqref{1} is recovered from $$ds² = \tilde{g}_{\mu\nu}dy^{\mu}dy^{\nu} $$ with $ \ tilde {g} _ {\ mu \ nu}$ being constant in the $ y ^ \ mu $ coordenadas.

Mi suposición inicial es que esto es cierto, sin embargo, no estoy seguro de cómo podría demostrarse esto.

Answer 1

Toda matriz simétrica puede ser diagonalized por una matriz ortogonal, decir $O$ - así $O^{T}gO = \Lambda$, $\Lambda$ diagonal con valores propios constante. Tenemos valores propios positivos, y puesto que es constante, $O$ $dy^i = O^i_{j}dx^j$. Ahora nuestra métrica es diagonal - escala de cada variable por la raíz cuadrada de su correspondiente valor propio; convertirá la métrica a la identidad.

Nota que esto no funciona si la métrica tiene valores propios negativos.