Particiones de bosonic y fermiónicos

Question

Veamos un conjunto de fermiónicos y creación los operadores $b_n$, $b_n^\dagger$ $n$ un entero positivo. ¿Aquí significa fermiónicos obedecen la anti-conmutación relations$${b_n, b_m} = {b_n^\dagger, b_m^\dagger} = 0,\text{ }{b_n, bm^\dagger} = \delta{n, m},$$with ${A, B} = AB + BA$ for two operators $A$, $B$. How do I construct a Hamiltonian $H_R$ out of the $b_n$, $b_m^\dagger$ and a Fock space $\mathcal{F}R$ such that$$\text{Tr}{\mathcal{F}_R} q^{H_R}$$is equal to the generating function for the number of partitions of $n$ en partes distintas?

Answer 1

Para empezar, ayuda a la primera visualizar el original contando problema y luego vienen con un sistema físico que corresponde a la imagen que usted tiene en mente. Hay un par de ingeniosas maneras de visualizar las particiones de $n$. Recordemos que una partición de $n$ es una secuencia de enteros $\lambda_1\geq\lambda_2\geq\dots\geq\lambda_k$ tal que $\sum_j\lambda_j=n$. Supongo que cuando dices 'particiones de $n$ en distintas partes", te refieres a una partición en todas las $\lambda$'s son diferentes (es decir,$\lambda_1>\lambda_2>\dots$).La interpretación es clara a partir de introducción de la mecánica cuántica: $n=\sum_{j=1}^k \lambda_j=H_R$ es una energía autovalor de a $k$ fermiones, cada uno posee integral de la energía $\lambda_j$. El (la más cercana) correspondiente sistema físico es un fermionic oscilador armónico.

El espacio de Hilbert es construido (por costumbre), iniciando con una sola partícula de orbitales $b^\dagger_n |0\rangle$,$n\geq 1$. La sola partícula de Hamilton es el dado por $H = \sum_{k\geq 1} \epsilon_k b_k^\dagger b_k$ donde $b_k$ es el fermionic aniquilación operador asociado con $b_k^\dagger$ $\epsilon_k$ es la energía de la $k$th orbital. $H$ también se da el Hamiltoniano de un sistema del cuerpo de noninteracting fermiones, cuyo espacio de Hilbert es generado por los productos de la creación operadores aplicados al vacío. Para determinar el $\epsilon_k$, trate de encontrar una opción que es consistente con la interpretación de la $\lambda_j$'s como energías (sugerencia: $\epsilon_k$ tiene una simple $k$ dependencia).