Este es el problema, tengo una función definida en un conjunto abierto y siento que la pregunta está pidiendo usar un argumento compacto
dejar f:Rn→R continua, también admitimos que lim .
1)Demostrar que f está acotado a la baja.
2)demostrar que \inf_{x\in\mathbb{R^n}}f(x) se alcanza
Así que lo que traté de hacer : \mathbb{R^n} es un conjunto abierto pero se sabe que todos los intervalos cerrados y acotados de \mathbb{R^n} son compactos. Así que decidí proceder de esta manera :
dejar que A \subset \mathbb{R^n} un compacto con T_A su topología inducida es posible porque \mathbb{R^n} es un conjunto de dimensión finita. Basándonos en el teorema de Tychonoff que dice que un producto de compactos es un compacto, tomemos el conjunto conocido \forall i \in \{1,..,n\} \forall a_i,b_i\in\mathbb{R} , \prod_{i=1}^n[a_i;b_i] \subset A que es un compacto.
Quiero demostrar que f está acotado a la baja por lo que utilizo mi hipótesis admitida de que f es continua en \mathbb{R^n} por lo que significaría que es continua en todos sus subconjuntos cerrados, así que continua en todos sus compactos porque \mathbb{R^n} es un conjunto de dimensión finita (no recuerdo bien pero me parece que era una condición necesaria y suficiente para decir que los compactos son equivalentes a los conjuntos cerrados y acotados).
Y finalmente porque es continua en un compacto y tiene su valor en \mathbb{R} entonces, f estaría acotado inferiormente y alcanzaría su infimo pero no su supremum porque suponemos \lim_{x\to\infty}f(x)=+\infty . Y luego responder a las dos preguntas al mismo tiempo.
Pregunta 1 : ¿Puedo tomar un subconjunto compacto de \mathbb{R^n} tal como lo hice y finalmente concluir con mi f función que la generaliza está acotada en todos los \mathbb{R^n} ? Creo que no es suficiente.
Pregunta 2 : \mathbb{R^n} es un conjunto abierto, no entiendo cómo es posible simplemente tomar una reunión de compactos y luego "globalizar" los resultados a uno abierto.
Gracias por su ayuda.