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función acotada y cuestión compacta

Este es el problema, tengo una función definida en un conjunto abierto y siento que la pregunta está pidiendo usar un argumento compacto

dejar f:RnR continua, también admitimos que lim .

1)Demostrar que f está acotado a la baja.

2)demostrar que \inf_{x\in\mathbb{R^n}}f(x) se alcanza

Así que lo que traté de hacer : \mathbb{R^n} es un conjunto abierto pero se sabe que todos los intervalos cerrados y acotados de \mathbb{R^n} son compactos. Así que decidí proceder de esta manera :

dejar que A \subset \mathbb{R^n} un compacto con T_A su topología inducida es posible porque \mathbb{R^n} es un conjunto de dimensión finita. Basándonos en el teorema de Tychonoff que dice que un producto de compactos es un compacto, tomemos el conjunto conocido \forall i \in \{1,..,n\} \forall a_i,b_i\in\mathbb{R} , \prod_{i=1}^n[a_i;b_i] \subset A que es un compacto.

Quiero demostrar que f está acotado a la baja por lo que utilizo mi hipótesis admitida de que f es continua en \mathbb{R^n} por lo que significaría que es continua en todos sus subconjuntos cerrados, así que continua en todos sus compactos porque \mathbb{R^n} es un conjunto de dimensión finita (no recuerdo bien pero me parece que era una condición necesaria y suficiente para decir que los compactos son equivalentes a los conjuntos cerrados y acotados).

Y finalmente porque es continua en un compacto y tiene su valor en \mathbb{R} entonces, f estaría acotado inferiormente y alcanzaría su infimo pero no su supremum porque suponemos \lim_{x\to\infty}f(x)=+\infty . Y luego responder a las dos preguntas al mismo tiempo.

Pregunta 1 : ¿Puedo tomar un subconjunto compacto de \mathbb{R^n} tal como lo hice y finalmente concluir con mi f función que la generaliza está acotada en todos los \mathbb{R^n} ? Creo que no es suficiente.

Pregunta 2 : \mathbb{R^n} es un conjunto abierto, no entiendo cómo es posible simplemente tomar una reunión de compactos y luego "globalizar" los resultados a uno abierto.

Gracias por su ayuda.

1voto

pete Puntos 1

Lo aplicaremos:

Si C es un subconjunto compacto de \mathbb{R}^{n} y g:C\rightarrow\mathbb{R} es continua, entonces alguna x_{0}\in C existe tal que g\left(x_{0}\right)=\inf_{x\in C}g\left(x\right) .

(Si necesita una explicación de esto, hágamelo saber)

Encuentra alguna constante c\geq0 tal que \left\Vert x\right\Vert >c implica que f\left(x\right)\geq f\left(0\right) . Desde \lim_{\left\Vert x\right\Vert \rightarrow\infty}f\left(x\right)=+\infty se deduce que tal c efectivamente existe.

Definir C=\left\{ x\in\mathbb{R}^{n}\mid\left\Vert x\right\Vert \leq c\right\} y observe que C es compacto (acotado y cerrado) y contiene 0 .

Si \iota:C\rightarrow\mathbb{R}^{n} denota su inclusión entonces g=f\circ\iota:C\rightarrow\mathbb{R} es una función continua y podemos aplicar lo mencionado anteriormente.

Teniendo en cuenta que f y g coinciden en C existirá algún x_{0}\in C con f\left(x_{0}\right)=\inf_{x\in C}f\left(x\right) .

Para x\notin C tenemos f\left(x\right)\geq f\left(0\right)\geq f\left(x_{0}\right) .

Esto en conjunto demuestra que \inf_{x\in\mathbb{R}^{n}}f\left(x\right)=f\left(x_{0}\right) y en consecuencia f está acotado a la baja.

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liammclennan Puntos 3535

He aquí algunas observaciones y consejos: En primer lugar, parece que la segunda afirmación (se alcanza el mayor límite inferior) implica la primera afirmación (existe un límite inferior).

En segundo lugar, para cualquier número c puede dividir el dominio como \mathbb{R}^n = \left\{x\mid f(x) \leq c \right\} \cup \left\{x\mid f(x) > c\right\} Utilizando el límite en \infty deberías ser capaz de demostrar que uno de estos conjuntos es compacto.

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