función acotada y cuestión compacta

Question

Este es el problema, tengo una función definida en un conjunto abierto y siento que la pregunta está pidiendo usar un argumento compacto

dejar $f:\mathbb{R^n}\rightarrow\mathbb{R}$ continua, también admitimos que $\lim_{\lVert x\rVert \to\infty}f(x) =+\infty$ .

1)Demostrar que $f$ está acotado a la baja.

2)demostrar que $\inf_{x\in\mathbb{R^n}}f(x)$ se alcanza

Así que lo que traté de hacer : $\mathbb{R^n}$ es un conjunto abierto pero se sabe que todos los intervalos cerrados y acotados de $\mathbb{R^n}$ son compactos. Así que decidí proceder de esta manera :

dejar que A $\subset \mathbb{R^n}$ un compacto con $T_A$ su topología inducida es posible porque $\mathbb{R^n}$ es un conjunto de dimensión finita. Basándonos en el teorema de Tychonoff que dice que un producto de compactos es un compacto, tomemos el conjunto conocido $\forall i \in \{1,..,n\}$ $\forall a_i,b_i\in\mathbb{R}$ , $\prod_{i=1}^n[a_i;b_i] \subset A$ que es un compacto.

Quiero demostrar que $f$ está acotado a la baja por lo que utilizo mi hipótesis admitida de que $f$ es continua en $\mathbb{R^n}$ por lo que significaría que es continua en todos sus subconjuntos cerrados, así que continua en todos sus compactos porque $\mathbb{R^n}$ es un conjunto de dimensión finita (no recuerdo bien pero me parece que era una condición necesaria y suficiente para decir que los compactos son equivalentes a los conjuntos cerrados y acotados).

Y finalmente porque es continua en un compacto y tiene su valor en $\mathbb{R}$ entonces, $f$ estaría acotado inferiormente y alcanzaría su infimo pero no su supremum porque suponemos $\lim_{x\to\infty}f(x)=+\infty$ . Y luego responder a las dos preguntas al mismo tiempo.

Pregunta 1 : ¿Puedo tomar un subconjunto compacto de $\mathbb{R^n}$ tal como lo hice y finalmente concluir con mi $f$ función que la generaliza está acotada en todos los $\mathbb{R^n}$ ? Creo que no es suficiente.

Pregunta 2 : $\mathbb{R^n}$ es un conjunto abierto, no entiendo cómo es posible simplemente tomar una reunión de compactos y luego "globalizar" los resultados a uno abierto.

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Lo aplicaremos:

Si $C$ es un subconjunto compacto de $\mathbb{R}^{n}$ y $g:C\rightarrow\mathbb{R}$ es continua, entonces alguna $x_{0}\in C$ existe tal que $g\left(x_{0}\right)=\inf_{x\in C}g\left(x\right)$ .

(Si necesita una explicación de esto, hágamelo saber)

Encuentra alguna constante $c\geq0$ tal que $\left\Vert x\right\Vert >c$ implica que $f\left(x\right)\geq f\left(0\right)$ . Desde $\lim_{\left\Vert x\right\Vert \rightarrow\infty}f\left(x\right)=+\infty$ se deduce que tal $c$ efectivamente existe.

Definir $C=\left\{ x\in\mathbb{R}^{n}\mid\left\Vert x\right\Vert \leq c\right\} $ y observe que $C$ es compacto (acotado y cerrado) y contiene $0$ .

Si $\iota:C\rightarrow\mathbb{R}^{n}$ denota su inclusión entonces $g=f\circ\iota:C\rightarrow\mathbb{R}$ es una función continua y podemos aplicar lo mencionado anteriormente.

Teniendo en cuenta que $f$ y $g$ coinciden en $C$ existirá algún $x_{0}\in C$ con $f\left(x_{0}\right)=\inf_{x\in C}f\left(x\right)$ .

Para $x\notin C$ tenemos $f\left(x\right)\geq f\left(0\right)\geq f\left(x_{0}\right)$ .

Esto en conjunto demuestra que $\inf_{x\in\mathbb{R}^{n}}f\left(x\right)=f\left(x_{0}\right)$ y en consecuencia $f$ está acotado a la baja.

Answer 2

He aquí algunas observaciones y consejos: En primer lugar, parece que la segunda afirmación (se alcanza el mayor límite inferior) implica la primera afirmación (existe un límite inferior).

En segundo lugar, para cualquier número $c$ puede dividir el dominio como $$\mathbb{R}^n = \left\{x\mid f(x) \leq c \right\} \cup \left\{x\mid f(x) > c\right\}$$ Utilizando el límite en $\infty$ deberías ser capaz de demostrar que uno de estos conjuntos es compacto.