Definición de convergencia al infinito

Question

¿Es válida la siguiente definición para todas las series que convergen a infinito?

Definición- Una secuencia $x_n$ se dice que converge a $\infty$ si, para cada $a>0$ y $\epsilon>0$ existe $N\in \mathbb{N}$ tal que para $n>N$ es cierto que $|x_n-a|>\epsilon$

Aclaración: Por ejemplo podemos utilizar esta definición para determinar que $x_n=\sqrt{n}$ converge a infinito. Pero si nuestra secuencia es $1,0,2,0,3,0,4,0,5...$ entonces no se puede utilizar la definición anterior.

¿Puede modificarse esta definición para que las secuencias oscilantes también puedan someterse a la prueba de convergencia al infinito?

Answer 1

Dada una secuencia $(x_n)_n$ si para cada $a>0$ y para cada $\epsilon>0$ existe $N\in \mathbb{N}$ tal que, para $n>N$ es cierto que $|x_n-a|>\epsilon$ entonces $$|x_n|+|a|\geq |x_n-a|>\epsilon\implies |x_n|>\epsilon-|a|$$ y por tanto, por la arbitrariedad de $a$ y $\epsilon$ $$\lim_{n\to +\infty}|x_n|=+\infty.$$ También se cumple la otra implicación. Más sencillamente, una definición de $\lim_{n\to +\infty}|x_n|=+\infty$ debe ser: para cada $a>0$ existe $N\in \mathbb{N}$ tal que, para $n>N$ es cierto que $|x_n|>a$ (no es necesario el $\epsilon$ parte).

La secuencia $1,0,2,0,3,0,4,0,5, \dots$ no tiene límite y no converge a $+\infty$ (aunque es ilimitado). Por otra parte, la secuencia oscilante $1,-1,2,-2,3,-3,4,-4, \dots$ no tiene límite, no converge a $+\infty$ o $-\infty$ pero satisface su definición.

Answer 2

Pero si nuestra secuencia es $1,0,2,0,3,0,4,0,5...$ entonces no se puede utilizar la definición anterior.

Sí que puede. La definición puede utilizarse para llegar a la conclusión de que la secuencia anterior no convergen a $\infty$ .

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¿Puede modificarse esta definición para que las secuencias oscilantes también puedan someterse a la prueba de convergencia al infinito?

La definición ya puede para comprobar la convergencia al infinito de secuencias oscilantes. Utilizando la definición, se puede demostrar que tales secuencias no convergen a $\infty$ .

Answer 3

La definición es: una secuencia $x_n$ se dice que converge a $+\infty$ si

$$\forall a\in \mathbb{R} \quad \exists N\in \mathbb{N}\quad n>N \implies x_n>a$$

Tenga en cuenta que no es necesario establecer $a>0$ y no necesitamosi $\epsilon$ para la definición.