¿Las funciones absolutamente continuas son monótonas a trozos?

Question

Me preguntaba si las funciones absolutamente continuas $f\colon\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ son monótonos a trozos.

Gracias

Answer 1

No. Toma $f(x) = x^3 \sin 1/x$ con $f(0) = 0$ . La derivada existe en casi todas partes y $f(x) = f(0) + \int_0^x f'(t) dt$ lo que equivale a $f$ siendo absolutamente continua. Pero en cualquier intervalo abierto de $0$ tenemos $f$ ni aumenta ni disminuye.

Answer 2

De hecho, hay funciones absolutamente continuas que no son monótonas en ninguna parte. Enumerar los subintervalos abiertos de $[0,1]$ con puntos finales racionales como $(s_n, t_n)$ , $n=1\ldots \infty$ . Definir inductivamente los conjuntos $A_n$ y $B_n$ tal que

1. Cada uno de ellos es un subconjunto de "Cantor gordo" de $(s_n, t_n)$ : compacta, no densa en ninguna parte pero con medida de Lebesgue no nula.
2. $A_n$ y $B_n$ son disjuntos entre sí y de todos los $A_j$ y $B_j$ con $j < n$ .

Ahora defina $$f(x) = m \left( [0,x] \cap \bigcup_n A_n\right) - m \left([0,x] \cap \bigcup_n B_n \right) $$

Esto tiene las propiedades deseadas.