Divisibilty de $n^3+3$ y $n^5+5$ por un primo.

Question

Dado que el $n^3+3$ $n^5+5$ son divisibles por un prime $p$. ¿Cuántos valores puede $p$, $n$ un número entero?

Lo mejor que podría hacer es $p=2$ para las impares de n, y me mostró que $p$ no puede ser igual a $3$. Sé restando la primera ecuación a la segunda, lo vamos a conseguir $n^5-n^3+2=n^3(n-1)(n+1)+2$. La expresión está claro que no es divisible por $3$, lo que significa $p$ no puede tomar el valor de $3$.

Mi única pregunta es: ¿hay valores que $p$ puede tomar? He tratado de resolver de varias maneras, ninguno funcionó.

Si usted me puede ayudar, lo agradezco mucho, gracias

Answer 1

Asumir que un % alto $p$divide $a_1(n):=n^5+5$ y $a_2(n):=n^3+3$. Vamos a ejecutar a Euclid en esto...

1. Entonces $p$ también divide $a_3(n):=a_1(n)-n^2a_2(n)=5-3n^2$.
2. Por lo tanto $p$ también divide $a_4(n):=3a_2(n)+na_3(n)=5n+9$.
3. Por lo tanto $p$ también divide $a_5(n):=5a_3(n)+3na_4(n)=27n+25$.
4. Por lo tanto $p$ también divide $a_6(n):=27a_4(n)-5a_5(n)=118=2\cdot59$.

Lo $p=2$ o $p=59$. La primera se produce cuando $n$ es impar. Ivan Neretin y Alex Jordania retirado que este último se produce cuando $n\equiv10\pmod{59}$. No hay otros números primos pueden ocurrir.

Answer 2

% Toque $\ {\rm mod}\ p!:\ \begin{align}\color{#0a0}{n^3\equiv -3}\\color{#c00}{n^5\equiv -5}\end{align}\Rightarrow\, (\color{#0a0}{-3})^5 \equiv(\color{#0a0}{n^3})^5\equiv(\color{#c00}{n^5})^3\equiv(\color{#c00}{-5})^3\Rightarrow\, 0\equiv 3^5!-5^3\equiv 2\cdot 59 $