Intuitivamente, ¿por qué $\int_{-\infty}^{\infty}\sin(x)dx$ divergen?

Question

Según Wolfram Alpha, $\int_{-\infty}^{\infty}\sin(x)dx$ ¿ no convergen.

Esto no tiene ningún sentido para mí, intuitivamente, lo que voy a justificar con una trama:

Como vemos, el positivo y negativo de las áreas de 'cancelar', por lo que, para cualquier $\alpha \in \mathbb{R}$, $\int_{-\alpha}^{\alpha}\sin(x)dx=0$ (sólo estoy pensando en geométricamente - de ninguna manera se debe de ser esto una rigurosa justificación).

Así que, ¿por qué es que $\int_{-\infty}^{\infty}\sin(x)dx$ diverge?

Natural y de la razón intuitiva, más de un riguroso uno, sería lo mejor.

Gracias

Answer 1

La integral es de $$ \lim{a \to \infty}\lim{b \to \infty}\int_{-a}^b \sin x \, d x $$ si mantener un fijo y variar el otro límite de la integración, no hay límite, la integral fluctúa entre $-1$y $1$. El valor no tiene que soplar por allí no será un límite.

Answer 2

Tiene que ver con lo inapropiado de las integrales de este tipo se definen. Normalmente, uno define (para funciones continuas $f(x)$, por ejemplo) $$\int_0^\infty f(x) \, dx = \lim_{b\to\infty} \int_0^b \! f(x)\, dx,$$ siempre que el límite exista. Una extensión natural es entonces definir $$\int_{-\infty}^0 f(x) \, dx = \lim_{a\to\infty} \int_a^0 \! f(x)\, dx,$$ (o si se prefiere, $\int_{-\infty}^0 \! f(x) \, dx = \int_0^\infty f(-x)\,dx$) siempre que el límite exista.

Finalmente definimos $\int_{-\infty}^{\infty}\! f(x)\, dx = \int_{-\infty}^0 \!f(x)\, dx + \int_0^{\infty} \! f(x)\, dx$, porque queremos que todas las reglas típicas de la integración a infinito integrales siempre que hacen sentido. Como resultado, vemos que estos dos límites se toman de forma independiente el uno del otro.

Lo que su intuición es en la actualidad apunta a esto:

$$\lim_{n\to\infty} \int_{-n}^n \sin(x) \, dx = 0$$ lo cual es cierto, sin embargo, si adoptamos esta definición a doble cara infinito integrales nosotros ya no sería capaz de dividirse en el medio, por ejemplo, y así le damos un diferente intuitiva de la regla de que, posiblemente, es más ampliamente aplicable.

Answer 3

Como ya se ha señalado, esta es una mala integral y tiene que ser definido en el límite. Para buscar en la mitad de esta integral, podemos tomar el límite de la integral a partir de un punto fijo a otro punto como el que va al infinito: $$ \lim_{a \to \infty} \int_{x_0}^a {sin(x)}dx$$ for any $x_0$, no necesariamente 0.

Pero esto no converge; podemos definir la convergencia sólo si la secuencia que se arbitrariamente cerca al punto hacia el que converge. La idea es que, cuanto más se mira, más se va a conseguir, no importa lo que el valor que usted elija. Así que, si usted toma algún punto de la secuencia de allí a la vista, y es en sí la distancia desde el punto límite, no debería ser capaz de encontrar algunos otros señalan, además, en la secuencia, y tienen que tener un poco más lejos del punto límite, debido a que estaban ya que cerca del punto límite.

Pero este límite no hace eso. Se pone arbitrariamente cerca de cero, incluso coincidiendo, y luego se va alejando de nuevo. Va para arriba y abajo y nunca "se establece en" a cualquier punto fijo. Así que esta integral no converge.

Como ha sido señalado, si observáramos la integral de forma simétrica, es decir, la definen como $$\lim_{a\to\infty} \int_{-a}^a sin(x) dx$$ a continuación, se anularía en cada punto y sería igual a cero, no importa donde usted se veía, por lo que este convergen. De nuevo, sin embargo, que esto violaría una regla que nos gusta a la demanda de las integrales impropias, es decir, que se puede dividir por la mitad, es decir, $$\int_{-\infty}^\infty sin(x)dx = \int_{-\infty}^{x_0} sin(x)dx + \int_{x_0}^\infty sin(x)dx$$ para cualquier punto de $x_0$, después de estas integrales se han definido adecuadamente. Por lo tanto, si cualquiera de estas integrales no está definido, entonces tampoco debe el original.

Así que espero que intuitivamente se explica por usted.

Answer 4

"Una razón natural e intuitiva"... diciendo que las regiones positivas y negativas cancelaran hacia fuera es simplemente otra manera de decir $$\infty-\infty=0\ .$ $ y esto es definitivamente absurdo - usted simplemente no puede hacer aritmética con el símbolo $\infty$ según las mismas reglas como utilizar para aritmética real ordinario.

Answer 5

Sí, tiene usted derecho positivo y negativo cancelar. Pero sólo si usted eligió sus dos líneas de límite en múltiplos de $\pi$, por lo que para cada uno positivo hay una negativa correspondiente. Considere si usted tenía el límite de fro $0$ $\frac{\pi}{2}$entonces no podrían cancelar.

Así que imaginen esto, empezamos a $0$ y se mueve en el sentido positivo del $x$ eje, la zona comienza a aumentar hasta llegar a $\frac{\pi}{2}$ luego de la negativa aparece y comienza a cancelar, de manera que el área está ahora disminuyendo hasta que llega a $0$, pero luego hay otro aspecto positivo de la región, con lo que aumenta de nuevo, etc por lo que el área oscila entre el $1$ $0$ una y otra vez. Por lo que no convergen, como su $1-1+1-1+1-\cdots$ también se puede decir lo positivo y lo negativo cancelar fuera de aquí, pero si se toma plazo por el término que usted consigue $1,0,1,0 \ldots$ y esto no divergen.

Se puede argumentar que uno debe ir de forma simétrica en las direcciones positivas y negativas, este es el principio de Cauchy valor, y en este caso es $0$, pero la definición de una integral impropia es el de las direcciones positivas y negativas debe existir de forma independiente.