$y=(1+\frac{1}{n^3})(1+\frac{2^3}{n^3})...(1+\frac{n^3}{n^3})$

Question

¿Si $$y=\left(1+\frac{1}{n^3}\right)\left(1+\frac{2^3}{n^3}\right)...\left(1+\frac{n^3}{n^3}\right)$$ then what is $% $ $\lim_{n\rightarrow \infty } y^{\frac{1}{n}}$?

¿Alguien puede orientarme para ello? Consejos son apreciados. Gracias de antemano.

Answer 1

Inserte el accidente cerebrovascular y ataque cardíaco

Primero dejemos que $u$ = $\ln(y)$ así que $\frac{u}{n}=\ln(y^\frac{1}{n})$.

Tenemos $u = \displaystyle \lim{n \to \infty} \sum{k=1}^{n}\ln\left(1+\frac{k^3}{n^3}\right)$

Por lo tanto, $\ln(y^\frac{1}{n})=\frac{u}{n}=\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{n}\ln\left(1+\left(\frac{k}{n}\right)^3\right)$.

Por la definición de límite de una Integral, esto es igual a $\lim_{n\to \infty}\frac{u}{n}=\displaystyle \int_0^1 \ln(1+x^3)\,dx$.

Tomando la exponencial de ambos lados nos da

$$\lim_{n \to \infty} y^{\frac{1}{n}}=e^{ \int_0^1 \ln(1+x^3)\,dx}$$

Answer 2

Para completar la respuesta anterior, también puede notar que una vez establecida la $$ \lim_{n\to +\infty}\sqrt[n]{yn}=\exp\int{0}^{1}\log(1+x^3)\,dx \tag{1}$ $, por integración por partes y descomposición de la fracción parcial se sigue que: $$ \lim_{n\to +\infty}\sqrt[n]{y_n}= \color{red}{\large 4\,e^{\frac{\pi}{\sqrt{3}}-3}}.\tag{2}$ $