Calcular piso de$\frac{1}{x_1 + 1} + \frac{1}{x_2 + 1} + ... + \frac{1}{x_{100} + 1}$

Question

Hay una secuencia de recurrencia$x_1 = \frac{1}{2}$,$x_{n+1} = x_n^2 + x_n$. ¿Cuánto es el piso de$\frac{1}{x_1 + 1} + \frac{1}{x_2 + 1} + ... + \frac{1}{x_{100} + 1}$? El piso es una parte entera de un número real.

Answer 1

El instructivo consejos de @AchilleHui merecen una respuesta por su propia cuenta.

Dada la recurrencia de la relación $$\begin{align*} x_{n+1}&=x_n(x_n+1)\tag{1}\\ x_1&=\frac{1}{2}\\ \end{align*}$$

que se derivan de (1) una telescópica representación de los recíprocos de los valores a través de $$\begin{align*} \frac{1}{x_{n+1}}&=\frac{1}{x_n(x_n+1)} =\frac{1}{x_n}-\frac{1}{x_n+1} \end{align*}$$

Obtenemos $$\begin{align*} \sum_{j=1}^{100}\frac{1}{x_j+1}&=\sum_{j=1}^{100}\left(\frac{1}{x_j}-\frac{1}{x_{j+1}}\right)\\ &=\sum_{j=1}^{100}\frac{1}{x_j}-\sum_{j=2}^{101}\frac{1}{x_j}\tag{2}\\ &=\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_{101}}\\ &=2-\frac{1}{x_{101}}\tag{2} \end{align*}$$

De $x_1=\frac{1}{2}$ (1) $x_2=\frac{3}{4}, x_3=\frac{21}{16}>1$ y sigue de nuevo a partir de (1) $x_n>1$$n\geq 3$.

Finalmente, a partir de (2) $$\begin{align*} \color{blue}{\left\lfloor 2-\frac{1}{x_{101}} \right\rfloor = 1} \end{align*}$$

Nota: Desde $x_1=\frac{1}{2}$ $x_{n+1}\approx x_n^2$ tenemos $x_{101}\approx \frac{1}{2^{2^{100}}}$. Así, la diferencia de $2-\frac{1}{x_{101}}$ para el valor de $2$ es muy pequeña.