Supongamos que ${X_1,X_2,\ldots}$ es una secuencia de iid $L^1$-variables aleatorias tales que $E[X_1]\neq 0$. Definir para cada $n$, $$ S_n = X_1 + \cdots + X_n. $$ % Let $N$ser una geométrica variable aleatoria tal que P(N=k) $$ = q ^ p {k-1}, \quad k = 1, 2, \ldots, $$ donde $q=1-p$ y $p\in(0,1)$. Asumir que $N$ y ${X_1,X_2,\ldots}$ son toda la independiente. Mostrar que como $p\to0$, $ {S_N\over E [S_N]} $$ converge en distribución a una distribución exponencial con un % de tarifa $\lambda$e identificar $\lambda$.
Respuesta
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Ya estás en el camino correcto y completar la última parte de usted. Deje $\mu = E[X_1]$ común será la media y la $ \varphi(t) = E[e^{itX_1}]$ ser la característica común de la función
Como se indicó anteriormente, $$ E[S_N] = E[E[S_N|N]] = E[N\mu] = \frac {\mu} {p} $$
Ahora, considere la función característica de a $\displaystyle Z = \frac {S_N} {E[S_N]} = \frac {pS_N} {\mu}$:
$$ \begin{align*} \varphi_Z(t) & = E\left[e^{it\frac {pS_N} {\mu}}\right] \\ & = E\left[E\left[e^{it\frac {pS_N} {\mu}}|N\right]\right] \\ & = E\left[E\left[e^{i\frac {tp} {\mu} X_1}\right]^N\right] \\ & = E\left[\varphi\left(\frac {tp} {\mu} \right)^N\right] \\ & = \sum_{k=1}^{+\infty} \varphi\left(\frac {tp} {\mu} \right)^k (1 - p)^{k-1}p \\ & = p\varphi\left(\frac {tp} {\mu} \right) \sum_{k=1}^{+\infty} \left[\varphi\left(\frac {tp} {\mu} \right) (1 - p)\right]^{k-1} \\ & = \frac {\displaystyle p\varphi\left(\frac {tp} {\mu}\right)} {\displaystyle 1 - \varphi\left(\frac {tp} {\mu} \right) (1 - p) } \end{align*}$$
Nota la infinita serie geométrica converge como la función característica está limitada por 1. Desde $X_1 \in \mathcal{L}^1$, $\varphi$ es derivable y por lo tanto, podemos evaluar el límite a través de la Regla de L'Hospital:
$$ \begin{align*} \lim_{p\to 0} \varphi_Z(t) &= \lim_{p\to 0} \frac {\displaystyle p\varphi\left(\frac {tp} {\mu}\right)} {\displaystyle 1 - \varphi\left(\frac {tp} {\mu} \right) (1 - p) } \\ & = \lim_{p\to 0} \frac {\displaystyle \varphi\left(\frac {tp} {\mu}\right) + p\varphi'\left(\frac {tp} {\mu}\right)\frac {t} {\mu}} {\displaystyle \varphi\left(\frac {tp} {\mu} \right) - (1 - p)\varphi'\left(\frac {tp} {\mu}\right)\frac {t} {\mu} } \\ & = \frac {\varphi(0) + 0} {\displaystyle \varphi(0) - \varphi'(0)\frac {t} {\mu}} \\ & = \frac {1} {\displaystyle 1 - i\mu \frac {t} {\mu}} \\ & = \frac {1} {1 - it} \end{align*}$$
cual es la función característica de a $\text{Exp}(\lambda = 1)$
