Criterios de continuidad de Lipschitz

Question

¿Es cierta la siguiente afirmación? Supongamos que $f:[0,1]\to [0,1]$ es una función continua tal que $$\sup_t\limsup_{s\to t}\frac{|f(s)-f(t)|}{|t-s|}<\infty,$$ entonces $f$ es continua de Lipchitz.

Answer 1

Obsérvese que la hipótesis de continuidad es redundante con la expuesta. En efecto, para cada $t\in [0,1]$ podemos encontrar $\delta(t)>0$ tal que $|f(t)-f(s)|\leq (M+1)|t-s|$ si $|t-s|<\delta$ , donde $M$ es el supremacía implicado en la hipótesis. De lo contrario, podríamos encontrar $t\in[0,1]$ y una secuencia $\{t_n\}$ convergiendo a $t$ tal que $|f(t)-f(t_n)|>(M+1)|t-t_n|$ , contradiciendo la suposición.

El problema ha sido contestado en math.overflow por Misha.