Determinar las propiedades de estabilidad y convergencia en el origen mediante el método directo de Lyapunov.

Question

Tengo un problema para resolver el siguiente tema:

Determinar las propiedades de estabilidad y convergencia en el origen utilizando el Método Directo de Lyapunov:

$\dot{x_1} = x_2 - \frac{x_1 \cos{t}}{k_0 + \sin{t}} \\ \dot{x_2} = - x_2 - x_1(k_0 + \sin{t}) , k_0 > 1$

Mi problema es que no he podido encontrar la función candidata de Lyapunov correcta para que:

1. $V(0) = 0 $

2. $V(x) > 0 $ cuando $x \neq 0$

3. $\dot{V}(x) \leq 0$

Hasta ahora he utilizado: $V = \frac{x_2^2 x_1^2}{2}$ y $V = \frac{x_1^2}{2} + \frac{x_2^2}{2}$ Ni siquiera sé a dónde ir ahora... Soy un novato total en esto...

Answer 1

Se trata de una solución por el método directo de Lyapunov. (utilizar otros procedimientos podría ser más sencillo en este caso)

El sistema no es autónomo (variante temporal), por lo que una función de Lyapunov variante temporal podría ser adecuada para el problema.

Consideremos la función de Lyapunov:

$V = a(t)\frac{1}{2}x_1^2 + b(t)\frac{1}{2}x_2^2$ ,

donde $0<a(t)<a_1$ , $\forall t$ y $0<b(t)<b_1$ , $\forall t$ con constantes $a_1,\,b_1$ . Los parámetros $a(t)$ y $b(t)$ debe determinarse. ( $a$ y $b$ debe ser positivo y acotado que $V$ es definida positiva).

La derivada a lo largo de las trayectorias del sistema

$\dot x_1 = x_2 - \frac{x_1 \cos{t}}{k_0 + \sin{t}} \\ \dot x_2 = - x_2 - x_1(k_0 + \sin{t}) , k_0 > 1$

es:

\begin{align} \dot V & = \dot a \frac{1}{2}x_1^2 + a x_1 \dot x_1 + \dot b \frac{1}{2}x_2^2 + b x_2 \dot x_2 \\ & = \dot a \frac{1}{2}x_1^2+ \dot b \frac{1}{2}x_2^2\\ & \quad+ a x_1 ( x_2 - \frac{x_1 \cos{t}}{k_0 + \sin{t}}) \\ & \quad+ bx_2(- x_2 - x_1(k_0 + \sin{t}) )\\ & = \dot a \frac{1}{2}x_1^2+ \dot b \frac{1}{2}x_2^2\\ & \quad + a x_1 x_2 - a x_1^2\frac{ \cos{t}}{k_0 + \sin{t}} \\ & \quad - b x_2^2 - x_1x_2 b (k_0 + \sin{t}) ) \\ &= -( a\frac{ \cos{t}}{k_0 + \sin{t}} -\dot a \frac{1}{2})x_1^2 - (b-\dot b \frac{1}{2})x_2^2 \\ & \quad+ (a-b(k_0 + \sin{t}) ))x_1x_2 \end{align}

Ahora elija $b =\sin(t) + k_0 >0$ y $a = (\sin(t) + k_0)^2>0$ es decir $\dot a = 2\cos(t)(\sin(t) + k_0) $ , $\dot b = \cos(t)$ :

\begin{align} \dot V & \leq - (\sin(t) + k_0 - \frac{\cos(t)}{2})x_2^2 \leq 0, \quad \text{for} \,\,k_0>\sqrt{5}/2\approx 1.1 \end{align} La derivada de $V$ es semidefinida negativa, es decir, el origen es estable.

Dado que el sistema varía en el tiempo, no se puede considerar el principio de invariancia estándar para investigar la estabilidad asintótica. Entonces, se suele considerar el Lemma de Barbalat. A grandes rasgos dice que Si una función $\phi(t)$ con $\lim_{t\to\infty} \phi(t)= c<\infty$ tiene una derivada uniformemente continua, entonces $\lim_{t\to \infty}\dot \phi(t) \to 0$ . Para el problema que nos ocupa, podemos decir que $V$ tiene un límite inferior, $\dot V$ es semidefinida negativa, (por lo que sabemos que V converge a un límite) y es uniformemente continua ya que

$\ddot V = - (\sin(t) + k_0 - \frac{\cos(t)}{2})x_2(- x_2 - x_1(k_0 + \sin{t})) - (\cos(t) + k_0 - \frac{\sin(t)}{2})x_2^2 $

está acotada. (Esto puede concluirse porque $x_1$ y $x_2$ convergen a límites finitos).

Por lo tanto, $\dot V \to 0$ para $t \to \infty$ . Para $x_2 \equiv 0$ , $x_1$ también debe ser cero, ya que se puede obtener a partir de las ecuaciones del sistema.

El origen es incluso exponencialmente estable.

En resumen:

$V = \frac{(\sin(t) + k_0)^2}{2}x_1^2 + \frac{(\sin(t) + k_0)}{2}x_2^2$ positiva definida y decreciente

$\dot V \leq - (\sin(t) + k_0 - \frac{\cos(t)}{2})x_2^2 \leq 0$ para $k_0>\sqrt{5}/2$ , semidefinición negativa $\Rightarrow$ Equilibrio estable de Lyapunov

Se puede aplicar el lema de Barbalat $\Rightarrow$ equilibrio asintóticamente estable

Answer 2

Esto no es una respuesta al problema utilizando el método directo de Lyapunov . Estoy esperando una solución usando el método directo de Lyapunov :D. Hacer esto con una función de Lyapunov parece complicado.

Existe una forma alternativa, pero más pesada computacionalmente, que consiste en aplicar la teoría de Floquet ( ejemplo ). Dado que este sistema es un sistema lineal variable en el tiempo con $2\pi$ -coeficientes periódicos. También puede determinar una solución de forma cerrada no elemental (por ejemplo, utilizando Maple) para esta EDO que se puede utilizar para determinar los valores propios de la matriz de monodromía.

En $S,S',C,C'$ las funciones se denominan Funciones Mathieu . El análisis numérico de los valores propios de la matriz de monodromía sugiere que el sistema es asintóticamente estable para $k_0 = 1.01,10,100, 1000$ porque todos los valores propios se encuentran dentro del círculo unitario. Estoy bastante seguro de que se pueden utilizar las propiedades de las funciones de Mathieu para demostrar que los valores propios están siempre dentro del círculo unitario.