Álgebra lineal - matriz inversa

Question

Probar que si $A$ es invertible, y $B$ puede ser obtenida a partir de a $A$ aplicando operaciones elementales con sus filas, a continuación, $B$ es invertible.

Esto es lo que hice:

Deje $A$ ser cualquier matriz cuadrada nxn,

Dado: $E_{k}E_{(k-1)}...E_{2}E_{1}A=B$

Sabemos que cada escuela Primaria de la Matriz es invertible porque puede ser obtenida mediante la aplicación de una primaria de operación de filas a la matriz identidad.

Para $k=1$, $$EA=B$$ Dado que el $A$ $E$ son tanto invertible, $$(EA)^{-1}=A^{-1}E^{-1}$$ a continuación, $$(B)^{-1}=A^{-1}E^{-1}$$ Para $k=2$, $$E_{2}E_{1}A=B$$ Dado que el $A$ $E_{1}$ $E_{2}$ son invertible,

$$(E_{2}E_{1}A)^{-1}=(E_{2}(E_{1}A))^{-1}=(E_{1}A)^{-1}E_{2}^{-1}=A^{-1}E_{1}^{-1}E_{2}^{-1}$$ a continuación, $$(B)^{-1}=A^{-1}E_{1}^{-1}E_{2}^{-1}$$ Para $k>2$, de forma inductiva, podemos suponer que, $$(E_{k}E_{(k-1)}...E_{2}E_{1}A)^{-1}=A^{-1}E_{1}^{-1}E_{2}^{-1}...E_{k-1}^{-1}E_{k}^{-1}$$ A continuación, $$B^{-1}=A^{-1}E_{1}^{-1}E_{2}^{-1}...E_{k-1}^{-1}E_{k}^{-1}$$ Por lo tanto, $B$ es invertible.

Realiza esta prueba tiene sentido.

Answer 1

Hay 2 problemas: no hay necesidad formal de inducción y, en cada caso, usted está afirmando que $B$ es invertible y, a continuación, señalando la correcta inversa. Para resolver el segundo problema, se debe proponer un candidato y comprobar que es la inversa de a $B$.

Así que vamos a $B=E_kE_{k-1}\cdots E_1A$ y considerar la posibilidad de $D\equiv A^{-1}E_1^{-1}\cdots E_k^{-1}$. Entonces: $$BD=\Big(E_kE_{k-1}\cdots E_1A\Big)\Big(A^{-1}E_1^{-1}\cdots E_k^{-1}\Big)=I_n$$ donde la última igualdad se utiliza la asociatividad de la multiplicación de la matriz. Del mismo modo, $$DB=\Big(A^{-1}E_1^{-1}\cdots E_k^{-1}\Big)\Big(E_kE_{k-1}\cdots E_1A\Big)=I_n.$$ Por lo $B$ es de hecho invertible con $D$ siendo su inversa.