En el triángulo $ABC$, $AB=16$, $AC=15$ y $BC=13$. Es punto de $D$ $AB$, y punto de $E$ $AC$ así que $DE$ divide en dos el área y el perímetro del triángulo $ABC$. (En otras palabras, ambos $DA+AE$ y $DB+BC+CE$ son iguales a la mitad del perímetro.) Encontrar $DE^2$.
Respuestas
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Definir $d:=AD$$e:=AE$. Entonces el perímetro de la interseccion se convierte en
$$d+e=(16+15+13)/2=22 \\ e=22-d$$
Utilizando la fórmula de la Garza, el área de $\triangle ABC$ es
$$\frac14\sqrt{(16+15+13)(-16+15+13)(16-15+13)(16+15-13)}=6\sqrt{231}$$
así que usted desee $\triangle DAE$ tener un área de $3\sqrt{231}=\sqrt{2079}$. Pero a fin de calcular que el área de uso de los Garza nuevo, usted necesita la distancia $f:=DE$. Vamos a por el momento suponemos que tuvo que distancia dada.
\begin{align*} \frac14\sqrt{(d+e+f)(-d+e+f)(d-e+f)(d+e-f)}&=\sqrt{2079}\\ (22+f)(22-2d+f)(2d-22+f)(22-f)&=4^2\cdot2079\\ \bigl(f^2-22^2\bigr)\bigl(f^2-(22-2d)^2\bigr)&=-33264\\ 4d^2f^2 - f^4 - 88df^2 - 1936d^2 + 968f^2 + 42592d - 267520 &= 0 \tag1 \end{align*}
Usted puede usar la ley de los cosenos para describir a $f$, o más bien $f^2$:
\begin{align*} \cos A = \frac{d^2+e^2-f^2}{2de} &= \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{15^2+16^2-13^2}{2\cdot15\cdot16}=\frac{13}{20} \\ 20(d^2+(22-d)^2-f^2)&=13(2d(22-d)) \\ 66d^2 - 20f^2 - 1452d + 9680 &= 0 \\ f^2 &= (66d^2 - 1452d + 9680)/20 \tag2 \end{align*}
Ahora si conecta $(2)$ a $(1)$ consigue
\begin{align*} \frac{231}{100}d^4 - \frac{2541}{25}d^3 + \frac{27951}{25}d^2 - 33264 &= 0 \\ d^4 - 44d^3 + 484d^2 - 14400 &= 0 \tag3 \\ \{11-\sqrt{241}\approx-4.5,10,12,11+\sqrt{241}\approx26.5\} &\ni d \end{align*}
La primera solución es negativo. La última es mayor que $22$ y por lo tanto conducir a negativo $e$. Así que tienes dos opciones posibles para $d$ y, por tanto, dos posibles opciones para $D$$E$. Estas dos opciones son simétricas respecto a la bisectriz de un ángulo en $A$, por lo que la cantidad de $f^2$ se le pedirá sigue siendo el mismo. Conectar cualquiera de estas soluciones en $(2)$ le dará ese $f^2$.
Por supuesto, la solución de la ecuación de cuarto grado $(3)$ es un poco incómodo (a menos de que un equipo haga por usted), por lo que puede simplificar el que paso. Usted podría haber pensado acerca de la simetría antes de ver las soluciones: desde $\triangle DAE$ está determinado por su perímetro, el área y el ángulo en el $A$, esta descripción es totalmente simétrica. Así que usted podría utilizar la simetría en su ecuación. Escribir $d$$d=11+x$, de modo que siempre que $x$ es una solución, $-x$ es una solución así. A continuación, $(3)$ se convierte en
$$x^4 - 242x^2 + 241 = 0\tag4$$
que es simplemente una ecuación de segundo grado en $x^2$.
Lozenges
Puntos
361
$EK$ es paralelo a $CD$ , $K$ en $AB$
$CKD$ $CED$ tienen una base común y de la misma altura, de modo que tengan la misma área. De ello se deduce que el área de $CKB$ es la mitad del área de $ABC$. Por lo tanto, $K$ es el punto medio de la $AB$.
$\frac{\text{AK}}{\text{AD}}=\frac{\text{AE}}{\text{AC}}$
$\frac{8}{AD}=\frac{AE}{15}$
$\text{AD}*\text{AE}=\text{AK}*\text{AC}=120$
$AD+AE=22$ (véase el anterior solución por MvG)
Esto le da las dos soluciones ${AD,AE}={10,12}$ o ${AD,AE}={12,10}$
A partir de aquí el uso de la Ley de los Cosenos para obtener $\cos A = 13/20$
y
$\text{ED}^2=10^2+12^2-2*10*12 *\frac{13}{20}=88$
