¿Es válida la versión categorial de $X \subseteq Y \implies X \times Z \subseteq Y \times Z$?

Question

Establecer teóricamente, tenemos que para cualquier conjuntos de tres, sostiene que

$$X \subseteq Y \implies X \times Z \subseteq Y \times Z.$$

Categorially, tenemos eso si $X$ y $Y$ son objetos de una categoría y $f : X \rightarrow Y,$ entonces si el % de productos $X \times Z$y $Y \times Z$ existen, entonces existe una única flecha $g : X \times Z \rightarrow Y \times Z$ realizar el diagrama correspondiente conmutar.

¿Probablemente es una pregunta tonta, pero si $f$ es monic, necesariamente sigue que $g$ es monic?

Answer 1

El diagrama de

$\begin{array}{c} X \times Z & \rightarrow & Y \times Z \ \downarrow && \downarrow \ X & \rightarrow & Y \end{array}$

es un retroceso (ver aquí). Pero pullbacks de monics monic, por una persecución diagrama simple; basta con mirar el tiempo suficiente en el siguiente diagrama:

$\begin{array}{c} T & \rightrightarrows & X' & \rightarrow & Y' \ &&\downarrow && \downarrow \ && X & \hookrightarrow & Y \end{array}$

Esto también aparece en algún libro de Mac Lane.

Answer 2

Denotar $p_X,p_Z$ las proyecciones $X \times Z \to X, Z$ $q_Y, q_Z$ las proyecciones $Y \times Z \to Y,Z$. A partir de los mapas de $ p_X f : X \times Z \to Y$ $p_Z : X \times Z \to Z$ tenemos la inducida por el mapa de $g : X \times Z \to Y \times Z$, de tal manera que $p_X f = g q_Y$$p_Z = g q_Z$.

Supongamos que tenemos una flecha $h : W \to X \times Z$. $h$ está determinada únicamente por sus componentes $hp_X$$hp_Z$. Desde $f$ es un monomorphism, $hp_X$ está determinada únicamente por $hp_Xf$, por lo que el $h$ está determinado por $hp_Xf = hgq_Y$$hp_Z = hgq_Z$. Por lo tanto $h$ está determinado por $hg$, lo que significa que $g$ es también un monomorphism.

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también se puede argumentar que, en virtud de la identificación $\hom(W,A \times B) \cong \hom(W,A) \times \hom(W,B)$, $g_* = f_* \times id_{\hom (W,Z)}$. Desde $f_*$ es inyectiva, por lo que es $g_*$.

Answer 3

La respuesta más conceptual que es el functor ${-} \times {-} : \mathcal{C} \times \mathcal{C} \to \mathcal{C}$ un adjoint derecho, al menos cuando $\mathcal{C}$ tiene todos los productos. En particular conserva monomorphisms y es fácil ver que precisamente el componentwise monomorphisms monomorphisms $\mathcal{C} \times \mathcal{C}$.

Cuando $\mathcal{C}$ no tiene todos los productos, este argumento se puede hacer todavía para trabajar incrustando $\mathcal{C}$ $[\mathcal{C}^\mathrm{op}, \mathbf{Set}]$: esta conserva y refleja todos los límites, así que en particular, productos y monomorphisms.