¿Cómo mostrar un mapa entre conjuntos está bien definida?

Question

¿Si $G$ es un grupo y $H \subset G$ es un subgrupo, lo mostraría un mapa $\phi : G/H \longrightarrow$ $H\setminus G$ definidas en $gH \mapsto (gH)^{-1}$ está bien definido?

Sé que necesitamos mostrar que, para algunos $g_1,g_2 \in G$ tal que $g_1H=g_2H$, tenemos $Hg_1^{-1}=Hg_2^{-1}$. He encontrado

$g_1H=g_2H \Longrightarrow H =g_1^{-1}g_2H \Longrightarrow Hg_1^{-1} = g_1^{-1}g_2Hg_1^{-1}$.

Sin embargo, no estoy seguro cómo mostrar que $g_1^{-1}g_2Hg_1^{-1} = Hg_2^{-1}$.

Answer 1

Supongamos que

$$gH=xH\Longleftrightarrow x^{-1}g\in H\Longleftrightarrow Hx^{-1}=Hg^{-1}$$

y voila: va de izquierda a derecha el mapa está bien definido, y va de derecha a izquierda le consigue el mapa es $\,1-1\,$

Answer 2

Asumir $$(g{1}H)^{-1}=(g{2}H)^{-1}$$ then $% $ $(g{1}H)(g{1}H)^{-1}=(g{1}H)(g{2}H)^{-1}\iff e=(g{1}H)(g{2}H)^{-1}$así $$e(g{2}H)=((g{1}H)(g{2}H)^{-1})(g{2}H)\iff g{2}H=g{1}H$ $

Para concluir: $$(g{1}H)^{-1}=(g{2}H)^{-1} \iff g{2}H=g{1}H$ $

Answer 3

En general, para este tipo de argumento, ayuda usar el siguiente hecho:$$ g_1H= g_2 H\ \text{ iff }\ g_1^{-1}g_2\in H.$ $

Esto se debe a que ambos son equivalentes a$H = g_1^{-1}g_2 H$. Del mismo modo, tenemos$$Hg_1^{-1}= Hg_2^{-1}\ \text{ iff }\ g_1^{-1}g_2\in H,$ $ porque ambos son equivalentes a$Hg_1^{-1}g_2 = H$. Ponlos juntos y listo.