Por favor sugerir una sustitución para resolver:
$$y'' \cot( y ) = (y'){^2} +c $$
Gracias de antemano.
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Sustitución de $u=\sin(y)$ uno recibe $$ u'' =(\sin(y))'' = (\cos (y) y') ' = \cos (y) y''-\sin (y) y'^ 2 = c\sin (y) = cu $$ que es, según el signo de $c$, una ecuación de oscilación o una función exponencial que es fácilmente solucionable para $u$ y $y$. u $$ =\begin{cases} a_1\cos(\sqrt{|c|}x)+a_2\sin(\sqrt{|c|}x)&\text{ for }c0. \end{casos} $$
Isham
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243
$$\cot y \, y^{''} = y^{'}{^2} +c$ $ Sustituto $y'=p \implies y''=p\frac {dp}{dy}$ $$pp'\cot y = p^2 +c$ $$$\int \frac {2p}{ p^2 +c}dp=2\int \tan(y) dy$ $$$\ln|p^2 +c|=-2\ln |\cos(y)|+K_1$ $$$p^2 =\frac {K_1} {\cos^2(y)}-c$ $$$y'=\sqrt{\frac {K_1} {\cos^2(y)}-c}$ $$$\int \frac {dy}{\sqrt{\frac {K_1} {\cos^2(y)}-c}}=x+K_2$ $con $u=\sin(y)$ % # $%#%
Charalampos Filippatos
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859
SUGERENCIAS :
Si $y$ es una función de $x$, namingly $y(x)$ $c$ es sólo una constante tal que $c \in \mathbb R$, (muy complicado), solución que puede ser producido después de que una cadena de operaciones mediante la sustitución de $$v(y) = \frac{\mathrm{d}y(x)}{\mathrm{d}y}$$ lo que da $$\frac{\mathrm{d}^2y(x)}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigg(\frac{\mathrm{d}y(x)}{\mathrm{d}x}\bigg)=\frac{\mathrm{d}v(y)}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}v(y)}{\mathrm{d}y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=v(y)\frac{\mathrm{d}v(y)}{\mathrm{d}x}$$ y por lo tanto la integración de la solución para $v(y)$ y la sustitución hacia atrás para encontrar una expresión en términos sólo de $y(x)$$x$.
Si $y$ es una función de $c$, entonces no hay una solución en términos de funciones estándar. Específicamente, la solución es
$$y(c) = \arcsin\big[c_1\big(c_2\mathrm{Bi}(c) + \pi \mathrm{Ai}(c)\big)\big]$$
que da muy interesantes y parcelas-propiedades, mientras que el muestreo inicial $y(0)$ donde $\mathrm{Ai}(x)$ es la función de Airy y $\mathrm{Bi}(x)$ es la función Bi de Airy.
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$
