Convergencia de disminuir lentamente las secuencias

Question

Que $A$ ser un gran número, decir $A=100$, y un pequeño número, decir $a$ $a=0.01$.

Que $x1=1$ y $x{n+1}-x_n=-a \exp(-A/x_n)$ de definir. ¿Es verdad que el $x_n\to 0$?

Sabemos que $x_n$ es estrictamente decreciente. Pero no sé cómo mostrar que $x_n>0$ % todo $n$, ya que la inducción matemática falla aquí.

Tenga en cuenta que $x=0$ es un punto fijo para la iteración.

Answer 1

Sugerencia: $\,f(x) = x - a e^{-A/x} \gt x - e^{-1/x} \gt 0\,$ $\,\Bbb R^+\,$ $\,0 \lt a \lt 1 \lt A\,$. Por lo tanto $\,xn \gt 0\,$ $\,\implies x{n+1}=f(x_n) \gt 0\,$.

Answer 2

La dinámica sistema $(\mathbb{R}^+,h)$, donde $h(x) = x - a e^{-\frac{A}{x}}$ está bien definida si y sólo si $ h: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$, es decir, si para $x>0$, $h(x)>0$.

Usted puede demostrar que esta desigualdad es equivalente a $\frac{e^A}{a} x e^{\frac{1}{x}} > 1$. La función LHS adquiere un mínimo en $x = 1$, donde el valor es $\frac{e^{A+1}}{a}$. Por lo tanto necesita una y una para satisfacer la condición $\frac{e^{A+1}}{a} > 1$.

Además, si A es positivo, tienes un % de secuencia decreciente monótona $x_n = h^n(1)$que limita por debajo. En ese caso $x_n \rightarrow 0$.

Los valores que satisfacen estas condiciones.