¿Para un módulo $M$ sobre PID que no es finitamente generado, todavía tenemos el isomorfismo $M\cong Tor(M)\oplus M/Tor(M)$? ¿Si no puedes dar un contraejemplo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
No. Por ejemplo, sobre el anillo de $\mathbb{Z}$, vamos a $M=\prod\mathbb{Z}/(p)$ donde las gamas de productos más de todos los números primos $p$. A continuación, la torsión de los subgrupos $T$ $M$ es sólo la suma directa de $\bigoplus \mathbb{Z}/(p)$, set de elementos de $M$ que tiene sólo un número finito distinto de cero de coordenadas. El cociente $M/T$ entonces es divisible, ya que para cualquier $m\in M$ y cualquier valor distinto de cero $a\in\mathbb{Z}$, podemos dividir el $m$ $a$ después de modificar sólo un número finito de coordenadas de $m$ (es decir, los correspondientes a los números primos que dividen a $a$).
Sin embargo, el único elemento de $M$ que es divisible por cada número entero distinto de cero es $0$, ya que si $m\in M$ es divisible por un primo $p$ su $p$-coordinar debe ser $0$. Por lo $M$ no tiene no trivial divisible entre subgrupos y, en particular, no tiene un subgrupo isomorfo a $M/T$.
