¿Qué podemos decir sobre la matriz invertible$P$ en una condición que$A=PAP^{-1}$?

Question

Dada una matriz integral $A$, examinaremos el conjunto % $ $${P:\text{invertible}|PAP^{-1}=A}.$podemos comprobar que el conjunto es un grupo bajo la multiplicación de la matriz.

¿Podemos decir algo algebraica $P$? Me estoy planteando el concepto de conmutador para encontrar alguna propiedad $P$. Si tienes otro punto de vista o de algunos comentan, puede darlo que me?

Answer 1

Ya que pides algo algebraica, la siguiente es información que sólo los desplazamientos.

Deje $\mathbb{F}$ ser un campo. Denotar por $C_A = \{B\in M_n(\mathbb{F}) | AB=BA\}$ el centralizador de una matriz de $A$. Véase también una manera clara y ordenada por Amritanshu Prasad para encontrar el espacio vectorial de dimensión de $C_A$$\mathbb{F}$. Denotar por $G_A=\{P\in \mathrm{GL}_n(\mathbb{F})| AP=PA\}$. A continuación,$G_A=\{P\in C_A| \det P \neq 0\}$.

Si tratamos $\mathbb{F}^n$ $\mathbb{F}[x]$- módulo de $M^A$$x\cdot v=Av$, luego por el teorema de estructura de para finitely módulos generados durante PID, podemos escribir $$ M^A\simeq \bigoplus\limits_p \mathop{\oplus}\limits_i \mathbb{F}[x]/(p^{\lambda_{p,i}}), $$ donde $p$ carreras más irreductible factor del polinomio característico de a $A$ $\lambda_{p,i}>0$ es de los poderes de la $p$ que aparecen en la $p$-parte principal de $M^A$. A continuación, el centralizador de $A$ puede ser escrito como una $\mathbb{F}[x]$-módulo endomorfismo de álgebra $ \mathrm{End}_{\mathbb{F}[x]}(M^A). $

A continuación, necesitamos invertir matrices en $ \mathrm{End}_{\mathbb{F}[x]}(M^A). $

En el caso de al $\mathbb{F}$ es un campo finito, un método de obtención de tales matrices $P\in G_A$ es descrito en el Teorema de 1.10.7 de la Combinatoria Enumerativa yo. Este método general, y se aplica también al $\mathbb{F}$ no es un campo finito.