Cociente de dos distribuciones binomiales

Question

¿Cómo estimar $$ E\left [\frac {X} {X + Y} \right] $$ % de dos variables aleatorias independientes $X\sim Bin(n,p)$y $Y\sim Bin(m,p)$? ¿Hay alguna conexión con $\frac{n}{n+m}$ p. ej., $1-\varepsilon\leq E\left[\frac{X}{X+Y}\right]/\frac{n}{n+m}\leq 1+\varepsilon$?

Answer 1

Tenga en cuenta que, para cada % de no negativo números enteros $(x,y)$, $$\frac{x}{x+y}\mathbf 1_{(x,y)\ne(0,0)}=\int0^1xs^{x+y-1}ds$ $ integración, se obtiene ahora, $ de $$E\left(\frac X{X+Y}\mathbf 1{(X,Y)\ne(0,0)}\right)=\int0^1E(Xs^{X-1})E(s^Y)ds$ $X$ y $Y$ son sumas de i.i.d. Bernoulli variables aleatorias, por lo tanto, $$E(s^X)=(ps+q)^n\qquad E(s^Y)=(ps+q)^m$ $ por la diferenciación, $$E(Xs^{X-1})=\frac d{ds}E(s^X)=np(ps+q)^{n-1}$$ Thus, $% $ $E\left(\frac X{X+Y}\mathbf 1{(X,Y)\ne(0,0)}\right)=\int_0^1np(ps+q)^{n+m-1}ds=\frac n{n+m}(1-q^{n+m})$de que siguen las estimaciones deseadas.