Probar que el conjunto de todos los números algebraicos es contable

Question

Un número complejo $z$ se dice que es algebraico si hay números enteros $a_0, ..., a_n$ no todo cero, de modo que $a_0z^n+a_1z^{n-1}+...+a_{n-1}z+a_n=0$ . Demuestra que el conjunto de todos los números algebraicos son contables. La pista es: Por cada número entero positivo $N$ sólo hay finamente muchas ecuaciones con $n+|a_0|+|a_1|+...+|a_n|=N$ .

Aquí hay una prueba que tengo. El problema, sin embargo, es que no usé la pista proporcionada en el texto, así que tal vez esta prueba no es válida o que hay una prueba alternativa (más simple)? Por favor, ayúdame con esto. Gracias de antemano.

Prueba:

El conjunto de los números enteros es contable, tenemos este teorema siguiente:

Deje que $A$ ser un conjunto contable, y dejar $B_n$ ser el conjunto de todas las n-tuplas $(a_1,...,a_n)$ donde $a_k \in A, k=1,...,n,$ y los elementos $a_1,...,a_n$ no tienen por qué ser distintos. Entonces $B_n$ es contable.

Así que por este teorema, el conjunto de todos $(k+1)$ -tuplas $(a_0,a_1,...,a_k)$ con $a_0 \neq 0$ también es contable.

Que este conjunto esté representado por $ \mathbb Z ^k$ . Para cada uno de ellos $a \in \mathbb Z ^k$ considerar el polinomio $a_0z^k+a_1z^{k-1}+...+a_k=0$ .

A partir del teorema fundamental del álgebra, sabemos que hay exactamente $k$ raíces complejas para este polinomio.

Ahora tenemos una serie de conjuntos anidados que abarcan cada posible raíz para cada posible polinomio con coeficientes enteros. Más específicamente, tenemos un número contable de $ \mathbb Z^k s$ Cada uno de ellos contiene un número de cuenta de $(k + 1)$ -tuplas, cada una de las cuales se corresponde con $k$ las raíces de un $k$ -polinomio de grado. Así que nuestro conjunto de raíces complejas (llámalo $R$ ) es una unión contable de uniones contables de conjuntos finitos. Esto sólo nos dice que $R$ es a lo sumo contable: es o bien contable o bien finito.

Para mostrar que $R$ no es finito, considere las raíces para $2$ - se duplica en $ \mathbb Z^1$ . Cada uno $2$ -doble de la forma $(-1, n)$ se corresponde con el polinomio $-z + n = 0$ cuya solución es $z = n$ . Hay claramente una solución única para cada uno $n \in \mathbb Z$ así que $R$ es un conjunto infinito. Porque $R$ es también, a lo sumo, contabilizable, esto prueba que $R$ es contable.

Answer 1

Sí, tienes razón; si quieres ser más formal, estás usando Cantor-Schroeder-Bernstein en tu último paso http://en.wikipedia.org/wiki/Cantor-Schroder-Bernstein_theorem al concluir, a partir de la existencia de una inyección entre el conjunto de todas las raíces y la colección de polinomios y una inyección entre los pares ( $(1,n)$ y el conjunto de todas las raíces posibles, que la colección de raíces (es decir, los números algebraicos) es contablemente infinita.

Answer 2

Se puede expresar el conjunto de números algebraicos como una unión contable de conjuntos finitos. Sólo hay que tomar, para cada número entero no negativo n el conjunto de raíces de los polinomios para los que k + | a_0 | + ... + | a_k | = n , donde k es el grado del polinomio. Para cada n sólo hay un número finito de polinomios y cada polinomio sólo tiene un número finito de raíces.

Answer 3

Su prueba es correcta. Se salta algunos pequeños detalles, por ejemplo sobre el hecho de que se puede pedir $a_0 \neq 0$ en su $(k + 1)$ -tuplas, pero dependiendo de lo puntilloso que sea tu graduado yo no me preocuparía por eso. Lo único que haría es explicar, cuando dices que tienes una serie de conjuntos anidados, cuáles son exactamente esos conjuntos y luego ser explícito sobre el teorema que estás usando para conseguir que su unión sea contable.