En la convolución: Mostrar que $g_a *g_b = g_{\min(a,b)}$

Question

$a>0$, me ha dado tras las funciones $$f_a(x)=\frac{a}{π(x^2+a^2)}$ $ y $$g_a(x)=\frac{\sin(ax)}{π x}~~x\neq0,\qquad g_a(0)= \frac{a}{π}. $ $

Pregunta Muestran que,

$$f_a fb = f{a+b}$ $ y $$g_a gb = g{\min(a,b)}$ $

Pude demostrar que $f_a *fb = f{a+b}$ a través de la transformación de Fourier.

¿Cualquier persona puede ayudar a mostrar cualquier indicio o $g_a *gb = g{\min(a,b)}$?

Answer 1

También puede utilizar la transformada de Fourier: %#% $ #% hasta factores de normalización, $$\mathcal F(g_a*g_b)=\mathcal F(g_a)\mathcal F(g_b).$ es la función de indicador del intervalo $\mathcal F(g_a)$, por lo que es evidente que % $ $[-a,a]$etcetera.