Homomorphisms de $\mathbb Q$ a un Grupo abeliano finitamente generado

Question

Que $G$ es un Grupo abeliano finitamente generado. Demostrar que no hay ningún no trivial homomophism de $\mathbb Q$ $G$.

Creo que esto tiene que ver con la divisibilidad. $\mathbb Q$ es divisible. La imagen de ella bajo un homomorfismo de grupo debe ser divisible. Si $G$ eran finito, esto implica que la imagen es el subgrupo trivial de cualquier grupo finito divisible es trivial. Pero no es necesariamente finito $G$. ¿Qué argumento deben como en su lugar?

Answer 1

Un valor distinto de cero divisible grupo no es finitely generado.

Considere la posibilidad de un homomorphism $f\colon\mathbb{Q}\to G$ donde $G$ es un finitely generado abelian grupo. Si usted lo componen con la proyección de $\pi\colon G\to G/t(G)$ donde $t(G)$ es la torsión de la parte de $G$, se obtiene un homomorphism $\pi\circ f\colon\mathbb{Q}\to G/t(G)$. Desde $G/t(G)$ es finitely generado y torsiones, también la imagen de $\pi\circ f$ es finitely generado y de torsión libre. Pero es divisible, por lo que es isomorfo a $\mathbb{Q}^n$, para algunas de las $n$. Este grupo no es finitely generado al $n>0$. Por lo tanto $\pi\circ f=0$ y por lo tanto la imagen de $f$ está contenido en $t(G)$, que es un finitely genera torsión del grupo, por lo tanto finito.

No distinto de cero divisible grupo es finito.

Answer 2

Un grupo de abelian finito generados $G$ es isomorfo a $\oplus_{i=1}^{i=n}\mathbb{Z}/n_i\mathbb{Z}$. Que $x\in G$ y $f:\mathbb{Q} \rightarrow G$ tal que $f(1)=x, f(n.{1\over n}) =nf({1\over n}) =x$. Escriba $x=(x_1,...,x_n), x_i\in\mathbb{Z}/n_i\mathbb{Z} $, $x_i$ es divisible por cada cero no entero implica que $x_i=0$.

Answer 3

$G$ F.g., es suficiente para demostrar el resultado para $G = \mathbb{Z}$ y $G = \mathbb{Z}_{p^n}$. Pero ninguno de estos grupos contiene un subgrupo divisible no trivial.