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Sumas de potencias consecutivas de 3 ser cuadrados perfectos

Hace poco estuve considerando la posibilidad de armar el rompecabezas de la búsqueda consecutiva (entero) que los poderes de 3 la suma de un cuadrado. No es difícil mostrar que esto puede ser reducido a la búsqueda de los valores de n tal que

S3(n)=ni=03i

es un cuadrado o de un más de un cuadrado. No es difícil encontrar tres valores: S3(0)=1, S3(2)=4 y S3(5)=121. Sin embargo, he comprobado numéricamente que para ningún otro valor de n 10,000 S3(n) ya sea un cuadrado o de un más de un cuadrado.

¿Cómo se podría ir sobre demostrando que estos son los únicos valores de n o la búsqueda de otros valores (aparte de la fuerza bruta de búsqueda, asumiendo que hay más valores a encontrar)?

La pregunta, obviamente, se puede generalizar a otras bases de 3. Cuando se

Sb(n)=ni=0bi

ya sea un cuadrado o de un más de un cuadrado. Aquí están los resultados de mis experimentos para valores bajos de b0<n10,000.

bn2330+31=2230+31+32+33+34=112440+41=22+156770+71+72+73=202880+81=32990+91=32+1

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ciberandy Puntos 104

Tenemos ni=03i=3n+112

Por lo tanto, si ni=03i=a2, luego tenemos 3n+1=1+2a2

De ello se deduce a partir de un resultado de Nagell que esta ecuación no tiene soluciones para n2 con la excepción de a=11 y n=4. (242+1=243). El resto de los casos - n=0 n=1 - ambos dan lugar a soluciones fáciles.

Nota: Nagell el resultado es en realidad más fuerte, y sustituye a la '3' en la expresión anterior con un entero positivo arbitrario y: es decir, los estados que no hay solución a yn+1=1+2a2 n2 con la excepción de y=3,n=4,a=11. No sé si hay un más fácil la prueba de este caso especial.

Actualización: también se le preguntó acerca de " uno más de una plaza de caso, que podemos demostrar el uso de más medios elementales. En este caso, tenemos ni=03i=a2+1, por lo que

3n+1=3+2a2

Sabemos que el número de 9 no dividir el lado derecho de esta ecuación: de hecho, si a es un múltiplo de a3, 2a2 es un múltiplo de a 9 y, por tanto, 3+2a2 no es un múltiplo de nueve. Por el contrario, si a no es un múltiplo de a3, 3+2a2 no puede incluso ser un múltiplo de 3.

El único valor posible de 3n+1 que no es un múltiplo de a 9 3 (al n=0). De esto se sigue que a=0.

Nagell, Trygve, Contribuciones a la teoría de una categoría de Diophantine ecuaciones de segundo grado con dos incógnitas, Nova Acta Soc. Sci. Upsal., La Ser. IV 16, Nº 2, 38 p. (1954). ZBL0057.28304.

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