Sumas de potencias consecutivas de 3 ser cuadrados perfectos

Question

Hace poco estuve considerando la posibilidad de armar el rompecabezas de la búsqueda consecutiva (entero) que los poderes de 3 la suma de un cuadrado. No es difícil mostrar que esto puede ser reducido a la búsqueda de los valores de $n$ tal que

$S_3(n) = \displaystyle\sum_{i=0}^n 3^i\tag*{}$

es un cuadrado o de un más de un cuadrado. No es difícil encontrar tres valores: $S_3(0) = 1$, $S_3(2) = 4$ y $S_3(5) = 121$. Sin embargo, he comprobado numéricamente que para ningún otro valor de $n$ $10,000$ $S_3(n)$ ya sea un cuadrado o de un más de un cuadrado.

¿Cómo se podría ir sobre demostrando que estos son los únicos valores de $n$ o la búsqueda de otros valores (aparte de la fuerza bruta de búsqueda, asumiendo que hay más valores a encontrar)?

La pregunta, obviamente, se puede generalizar a otras bases de 3. Cuando se

$S_b(n) = \displaystyle\sum_{i=0}^nb^i\tag*{}$

ya sea un cuadrado o de un más de un cuadrado. Aquí están los resultados de mis experimentos para valores bajos de $b$$0<n\le10,000$.

$\begin{array}{c|l}b&n\\\hline2\\3&3^0+3^1 = 2^2\\&3^0+3^1+3^2+3^3+3^4 = 11^2\\4&4^0+4^1 = 2^2+1\\5\\6\\7&7^0+7^1+7^2+7^3 = 20^2\\8&8^0+8^1 = 3^2\\9&9^0+9^1 = 3^2+1\end{array}\tag*{}$

Answer 1

Tenemos $$ \sum_{i=0}^n 3^i = \frac{3^{n+1}-1}{2} $$

Por lo tanto, si $\sum_{i=0}^n 3^i=a^2$, luego tenemos $$ 3^{n+1} = 1 + 2a^2 $$

De ello se deduce a partir de un resultado de Nagell que esta ecuación no tiene soluciones para $n\ge 2$ con la excepción de $a=11$ y $n=4$. ($242+1 = 243$). El resto de los casos - $n=0$ $n=1$ - ambos dan lugar a soluciones fáciles.

Nota: Nagell el resultado es en realidad más fuerte, y sustituye a la '$3$' en la expresión anterior con un entero positivo arbitrario $y$: es decir, los estados que no hay solución a $y^{n+1}=1+2a^2$ $n\ge 2$ con la excepción de $y=3,n=4,a=11$. No sé si hay un más fácil la prueba de este caso especial.

Actualización: también se le preguntó acerca de " uno más de una plaza de caso, que podemos demostrar el uso de más medios elementales. En este caso, tenemos $\sum_{i=0}^n 3^i = a^2 + 1$, por lo que

$$ 3^{n+1} = 3 + 2a^2 $$

Sabemos que el número de $9$ no dividir el lado derecho de esta ecuación: de hecho, si $a$ es un múltiplo de a$3$, $2a^2$ es un múltiplo de a $9$ y, por tanto, $3 + 2a^2$ no es un múltiplo de nueve. Por el contrario, si $a$ no es un múltiplo de a$3$, $3+2a^2$ no puede incluso ser un múltiplo de $3$.

El único valor posible de $3^{n+1}$ que no es un múltiplo de a $9$ $3$ (al $n=0$). De esto se sigue que $a=0$.

Nagell, Trygve, Contribuciones a la teoría de una categoría de Diophantine ecuaciones de segundo grado con dos incógnitas, Nova Acta Soc. Sci. Upsal., La Ser. IV 16, Nº 2, 38 p. (1954). ZBL0057.28304.