Demostrar que todas las tres raíces de $f(x)=0$ cero. También demostrar que $a+b+c=0$.

Question

<blockquote> <p>Que $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$ sea también un polinomio cúbico con coeficientes reales y todas las raíces reales, $|f(i)|=1$ donde $i=\sqrt{-1}$. Demostrar que todas las tres raíces de $f(x)=0$ cero. También demostrar que $a+b+c=0$.</p> </blockquote> <hr> <p>$f(i)=-i-a+ib+c=1$ Y $f(i)=-i-a+ib+c=-1$<br><br>No sé cómo solucionar aún más.</p>

Answer 1

Que $x_1, x_2, x_3$ ser las raíces. Tenemos $f(x) = (x - x_1)(x - x_2)(x-x_3)$.

Por lo tanto

\begin{align} 1 &= |f(i)|^2 \ &= f(i)\overline{f(i)} \ &= (i - x_1)(i - x_2)(i - x_3)(-i - x_1)(-i - x_2)(-i - x_3) \ &= (x_1^2 + 1)(x_2^2 + 1)(x_3^2 + 1) \end {Alinee el}

así $x_1 = x_2 = x_3 = 0$.

Answer 2

Sugerencia: Deje los tres raíces reales de $f(x)$ ser $r,s,t$ (no necesariamente distintas). Entonces, nosotros podemos escribir $$f(x)=(x-r)(x-s)(x-t)$ $ ampliar esto y que $x^3+ax^2+bx+c$ y continuar...

Answer 3

Por otra parte, tenga en cuenta que $z=a+bi\in \mathbb Z, \bar{z}=a-bi \in \mathbb Z$, la norma es: $$|z|=\sqrt{z\cdot \bar{z}}=\sqrt{a^2+b^2}.$ $ así: $$|f(i)|=|c-a+(b-1)i|=\sqrt{(c-a)^2+(b-1)^2}=1 \Rightarrow (c-a)^2+b^2-2b=0 \tag{1}$$ Let $x_1,x_2,x_3$ ser la raíz de $f(x)=0 \iff x^3+ax^2+bx+c=0.$ por el Vieta fórmulas: $$\begin{align}\begin{cases} x_1+x_2+x_3&=-a\ x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3&=b\ x_1x_2x_3&=-c\end{casos} \tag{2}\end{align}$$ enchufe $(2)$ $(1)$: $$(x_1+x_2+x_3-x_1x_2x_3) ^ 2 + (x_1x_2 + x_1x_2 + x_2x_3) ^ 2-2(x_1x_2+x_1x3+x 2x_3) = 0 \iff \ x_1 ^ 2 + x_2 ^ 2 + x_3 ^ 2 + (x_1x_2) ^ 2 + (x_1x_3) ^ 2 + (x_2x_3) ^ 2 + (x_1x_2x_3) ^ 2 = 0 \iff \ x_1 = x_2 = x_3 = 0. $$