Condición suficiente para que una matriz sea diagonalizable y matrices similares

Question

Mi pregunta es sobre matrices diagonalizables y matrices similares.

Tengo un problema para demostrar que una matriz es diagonalizable.

Conozco algunas opciones para hacerlo:

Matriz $A$ $(n \times n)$ es diagonalizable si:

• El número de vectores propios es igual al número de valores propios.
• Existe una matriz invertible $B$ y una matriz diagonal $D$ tal que: $D=B^{-1}AB$ .

Pero tengo un problema para determinarlo según la segunda opción, ¿realmente necesito buscar si existe una matriz invertible $B$ y una matriz diagonal $D$ tal que: $D=B^{-1}AB?$

Siento mucho hacer una pregunta adicional aquí: Si una matriz tiene una fila de $0$ (uno de sus valores propios es $0$ ), ¿Esa matriz es diagonalizable?

en general, dada una matriz, ¿cómo puedo saber si es una matriz diagonalizable? ¿Existen fórmulas adicionales para hacerlo?

¡Gracias por la ayuda!

Answer 1

Primero un comentario

La redacción El número de vectores propios es igual al número de valores propios... es confuso. Si $A$ tiene un vector propio no nulo, entonces $A$ tiene un número infinito de vectores propios (siempre que se trabaje en $\mathbb R$ o $\mathbb C$ por ejemplo). Una redacción adecuada sería $A$ tiene una base de vectores propios.

Si una matriz tiene una fila de $0$ (uno de sus valores propios es $0$ ), ¿Esa matriz es diagonalizable?

La implicación "Si una matriz tiene una fila de $0$ 's" entonces "esa matriz es diagonalizable" no es cierto. La matriz $$A=\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$ es un ejemplo. El único eigespacio es $\mathbb F e_2$ fueron $e_2$ es el segundo vector de la base canónica (y $\mathbb F$ el campo del espacio vectorial).

Algunas condiciones equivalentes para una matriz $A$ para ser diagonalizable

• La suma de las dimensiones de sus eigespacios es igual a la dimensión $n$ del espacio.
• $A$ es similar a una matriz diagonal.
• Su polinomio mínimo es un producto de factores lineales distintos.

Answer 2

Si un $n\times n$ La matriz tiene $n$ valores propios distintos, entonces es automáticamente diagonalizable. En caso contrario, calcule la dimensión de cada espacio propio. La matriz es diagonalizable si y sólo si la suma de estas dimensiones es $n$ .

Respecto a la frase "Existe una matriz $B$ y una matriz diagonal $D$ tal que: $D=B^{−1}AB$ ", bueno Eso es básicamente lo que significa ser una matriz diagonalizable significa .

Answer 3

La declaración " matriz $A$ ( $n×n$ ), es diagonalizable si: el número de vectores propios es igual al número de valores propios " no es correcto.

Diríamos que una matriz $A$ ( $n×n$ ), es diagonalizable si y sólo si la suma de la dimensión de los eigenspaces es igual a $n$ Es decir si y sólo si para cualquier valor propio la multiplicidad algebraica es igual a la multiplicidad geométrica.

Cuando una matriz es diagonalizable, por supuesto, por definición la forma diagonal es similar a la matriz original. Obsérvese que la similitud es válida, más en general, también con la Forma normal de Jordania cuando la matriz no es diagonalizable.