Condición suficiente para que una matriz sea diagonalizable y matrices similares

Question

Mi pregunta es sobre matrices diagonalizables y matrices similares.

Tengo problemas para demostrar que una matriz es diagonalizable.

Sé algunas opciones para hacerlo:

Una matriz $A$ $(n \times n)$ es diagonalizable si:

• El número de eigenvectores es igual al número de eigenvalores.
• Existe una matriz invertible $B$ y una matriz diagonal $D$ tal que: $D=B^{-1}AB$.

Pero tengo problemas para determinarlo según la segunda opción. ¿Realmente necesito buscar si existe una matriz invertible $B$ y una matriz diagonal $D$ tal que: $D=B^{-1}AB$?

Lamento mucho hacer una pregunta adicional aquí: Si una matriz tiene una fila de $0$'s (uno de sus eigenvalores es $0$), ¿esa matriz es diagonalizable?

En general, dado una matriz, ¿cómo sé si es una matriz diagonalizable? ¿Hay algunas fórmulas adicionales para hacerlo?

¡Gracias por la ayuda!

Answer 1

Primero un comentario

La redacción El número de eigenvectores es igual al número de eigenvalores... es confusa. Si $A$ tiene un eigenvector no nulo, entonces $A$ tiene un número infinito de eigenvectores (si trabajas en $\mathbb R$ o $\mathbb C, por ejemplo). Una redacción adecuada sería$A$ tiene una base de eigenvectores.

¿Si una matriz tiene una fila de $0$'s (uno de sus eigenvalores es $0$), esa matriz es diagonalizable?

La implicación "Si una matriz tiene una fila de $0$'s" entonces "esa matriz es diagonalizable" no es cierta. La matriz $$A=\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$ es un ejemplo. El único espacio eigenvectorial es $\mathbb F e_2$ donde $e_2$ es el segundo vector de la base canónica (y $\mathbb F$ el campo del espacio vectorial).

Algunas condiciones equivalentes para que una matriz $A$ sea diagonalizable

• La suma de las dimensiones de sus espacios eigenvectoriales es igual a la dimensión $n$ del espacio.
• $A$ es similar a una matriz diagonal.
• Su polinomio mínimo es un producto de factores lineales distintos.

Answer 2

Si una matriz de $n\times n$ tiene $n$ valores propios distintos, entonces es automáticamente diagonalizable. De lo contrario, se calcula la dimensión de cada subespacio propio. La matriz es diagonalizable si y solo si la suma de estas dimensiones es $n$.

En relación a la frase "Existe una matriz $B$ y una matriz diagonal $D$ tal que: $D=B^{−1}AB$", bueno... Eso es básicamente lo que significa ser una matriz diagonalizable.

Answer 3

La afirmación "la matriz $A$ ($n×n$), es diagonalizable si: el número de eigenvectores es igual al número de eigenvalores" no es correcta.

Diríamos que una matriz $A$ ($n×n$), es diagonalizable si y solo si la suma de las dimensiones de los espacios propios es igual a $n$, es decir, si y solo si para cualquier eigenvalor la multiplicidad algebraica es igual a la multiplicidad geométrica.

Cuando una matriz es diagonalizable, por supuesto, por definición la forma diagonal es similar a la matriz original. Nótese que la similitud se cumple, más en general, también con la forma normal de Jordan cuando la matriz no es diagonalizable.