Demostrar que .

Question

<blockquote> <p>Usando cálculo, demostrar que $\log_23>\log_35>\log_47$.</p> </blockquote> <p><strong>Mi intento:</strong></p> <p>Si $\log_x(2x-1)$ es decreciente la función podemos decir que $\log_23>\log_35>\log_47$.</p> <p>$f(x)=\log_x(2x-1)$</p> <p>$f(x)=\dfrac{\ln(2x-1)}{\ln x}$</p> <p>$f'(x)=\dfrac{2x\ln x-(x-1)\ln(2x-1)}{(\ln x)^2x(2x-1)}$</p>

Answer 1

De su cálculo de $f'(x)$ (después de arreglar un pequeño error: $x-1$ debe ser $2x-1$), queda por mostrar $$2 x \log x

El derivado de $g(x) = (2x-1) \log (2x-1) - 2 x \log x$ es $$g'(x) = 2 \log(2x-1) + 2 - 2 (\log x + 1) = 2 \log (2 - \frac{1}{x}),$ $, que es negativa para $1/2 1$. Así se minimiza el $g$ $x=1$ % valor $0$, y así ($*$) asimientos para todos $x > 1/2$ excepto en $x=1$, donde ambos lados son iguales.

Answer 2

Puede que necesite hacer su derivado otra vez. El numerador de la derivada de $\frac{\ln(2x-1)}{\ln x}$ obtenido por la regla del cociente es $$\frac1{2x-1}\ln x-\frac{2x-1}x$ $ que nos podemos límite superior como %#% $ #% el denominador de esta última fracción es positivo para $$\frac1{2x-1}\ln x-\frac{2x-1}x\le\frac x{2x-1}-\frac{2x-1}x=\frac{-3x^2+4x-1}{x(2x-1)}$ y el numerador es negativo $x>\frac12$. Por lo tanto el derivado todo debe ser negativo para $x>1$, el intervalo de interés a la pregunta, y es decreciente, $2\le x\le 4$ $\log_x(2x-1)$, que $(2,4)$.

Answer 3

Otra vez $g(x)=2x\ln x-(2x-1)\ln(2x-1)$ es una función decreciente en $(1,\infty)$ porque tenemos $g'(x)1$ $$2x\ln x-(2x-1)\ln(2x-1)0$.