Formar dos de tres cifras y uno de dos para maximizar el producto

Question

Así que estoy ayudando a un estudiante de grado 5 para prepararse para una olimpiada y encontró esta pregunta de la olimpiada del pasado papel :

Utilizando $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ y $8$ (sin repetición), forma dos números de tres cifras y uno de dos cifras tales que el producto de estos tres números sea el mayor. Halla la suma de estos tres números.

A primera vista, parece muy intuitivo concluir directamente que debe ser 800 y pico por 700 y pico por 60 y pico. Pero la cosa se complica un poco cuando se trata de determinar el lugar de las decenas. Después de probar algunos valores en la calculadora, he descubierto que la combinación más grande es $831 \times 742 \times 65 = 40079130$ pero no encuentro una "regla empírica" adecuada y razonable para esta cuestión.

Así que, mi pregunta es, ¿hay algunas ideas para determinar la regla general (no necesariamente rigurosa) para tal pregunta?

Answer 1

Una intuición es que los dígitos más altos tienen que estar en los lugares más significativos.

La segunda es que los tres números tienen que estar lo más juntos posible. Así que una vez que sabemos cuáles son las cuatro cifras principales, esto implica que la cifra principal más alta va al número más corto. A continuación, se asignan las segundas cifras de modo que el número más largo con la cifra inicial más alta sea el más bajo, y el número más corto con la cifra inicial más baja sea el más alto.

Así que vamos dígitos principales $8,7,6$ y asignarlos $8*, 7**, 6**$

A continuación, los segundos dígitos $5,4,3$ y asignarlos $83, 74*, 65*$

A continuación, asigne $2,1$ para obtener $83, 741, 652$

Nota - como en uno de los comentarios a continuación, si intenta que los números se cierren antes de hacerlos grandes, podría obtener un resultado como el siguiente $712$ para uno de los números, pero entonces $721$ es mayor y dará un producto superior. $1$ siempre debe asignarse al dígito menos significativo.