Baby Rudin 1.14 es esencialmente el teorema de Thales?

Question

Ejercicio 1.14 en el Bebé Rudin pide calcular $$ \mid 1+z\mid^2+\mid 1-z\mid^2 $$ para (arbitrario) complejo de $z$ tirado en el círculo unidad. Este evalúa a $4$.

Considere el triángulo $0,1+z,1-z$ y desplazamiento a la izquierda por $1$. Obtenemos un triángulo inscrito en un círculo con uno de sus lados acostado en una diagonal. Por el contrario, si empezamos con cualquier triángulo inscrito en un círculo acostado en una diagonal se puede incorporar la figura en $\mathbb{C}$, de modo que la imagen del círculo es el círculo unitario, y los vértices del triángulo son a $-1,z,-z$ algunos $z\in\mathbb{C}$. Ahora, en cambio el triángulo situado a la derecha 1. Dos de sus lados convertido $1+z$$1-z$. Nuestro cálculo muestra que este triángulo es un triángulo rectángulo. Este resultado se conoce como el teorema de Thales.

Pregunta 1. Es esta una conocida prueba del teorema de Thales?

Pregunta 2. Hizo el autor en realidad significa esto para ser "descubierto"? Si sí, entonces se debe esperar encontrar una gran cantidad de "a propósito oculto de las" cosas en Rudin libros?

Answer 1

(Demasiado largo para un comentario.)

1. Es una prueba válida de Thales' teorema, que creo que ha sido re-descubierto muchas veces.

2. En el contexto de Bebé Rudin del libro, no creo que él estaba destinado a ser "encontrado" como tal.

Tales aspectos geométricos son siempre valiosas, sin embargo, vale la pena señalar que no necesariamente puede ser único. Por ejemplo, el mismo problema se podría resolver geométricamente mediante la ley del paralelogramo. Considere la posibilidad de que los puntos de $z, -1, -z, 1$ definir un paralelogramo, entonces igualando la suma de los cuadrados de las diagonales con la suma de los cuadrados de los lados da $\,\left(2 |z|\right)^2 + 2^2 = 2 \left(|z-1|^2+|z+1|^2\right)\,$.

(Sin embargo, la inversa no funciona, y para probar el paralelogramo de la ley de identidad de los números complejos, uno tendría que empezar con $\,|a+b|^2+|a-b|^2=2|a|^2+2|b|^2\,$ lugar.)