Aquí hay tres métodos diferentes de mostrar que $\mathbb{P}(\sup_{t\in[0,1]}\vert B_t\vert < \epsilon)$ es distinto de cero.
Un simple argumento basado en la intuición. Usted puede romper la unidad de intervalo en un montón de pequeños pasos de tiempo y, por la continuidad, el movimiento Browniano no se mueve mucho en cada uno de estos pasos. Por la independencia de los incrementos, hay una positiva (pero pequeño) probabilidad de que en gran parte se cancelan, por lo $B$ se queda dentro de $\epsilon$ de la de origen. Para hacer de este exacto, elija un entero positivo $n$ tal que $q\equiv\mathbb{P}(\sup_{t\le1/n}\vert B_t\vert < \epsilon/2)$ es distinto de cero ($q$ puede ser hecho lo más cercano a 1, como quieras, tomando $n$ grande). Por simetría, el evento $\{\sup_{t\le1/n}\vert B_t\vert < \epsilon/2,\ B_{1/n}>0\}$ probabilidad de $q/2$. Tenga en cuenta que, si $\sup_{t\in[k/n,(k+1)/n]}\vert B_t-B_{k/n}\vert < \epsilon/2$ $B_{(k+1)/n}-B_{k/n}$ tiene el signo opuesto a $B_{k/n}$ por cada $k=0,1,\ldots,n-1$ $\vert B_t\vert$ será delimitada por $\epsilon/2$ a veces $k/n$ y, por lo tanto, $\sup_{t\le1}\vert B_t\vert$ menos de $\epsilon$. Por eso, $\mathbb{P}(\sup_{t\le1}\vert B_t\vert < \epsilon)\ge(q/2)^n$.
El uso de un pequeño truco. Si $X,Y$ son independientes Browniano movimientos en el intervalo de $[0,1]$, $B=(X-Y)/\sqrt{2}$ es también un movimiento Browniano. La muestra caminos de la $X,Y,B$ puede ser considerado como acostado en el (completa, separables) espacio métrico $C([0,1])$ de funciones continuas $[0,1]\to\mathbb{R}$ bajo el supremum de la norma. Por separación, $C([0,1])$ pueden ser cubiertos por countably muchas bolas de radio $\epsilon/\sqrt{2}$. Así, contables aditividad de la medida de probabilidad, existe al menos una bola que contiene $X$ con una probabilidad de $q > 0$. Por la independencia, $X,Y$ están contenidas en esta pelota con una probabilidad de $q^2 > 0$, en cuyo caso $\Vert B\Vert_\infty=\Vert X- Y\Vert_\infty/\sqrt{2}<\epsilon$.
Cálculo exacto. Se puede calcular una expresión exacta para la probabilidad de que, como una infinita suma, y compruebe que está dominada por un solo término positivo como $\epsilon$ va a cero. Esto no es tan simple como la intuitiva argumento que dio el anterior, pero tiene la ventaja de que también le da una precisa expresión asintótica para la probabilidad, que va de cero como $e^{-\pi^2/(8\epsilon^2)}$ $\epsilon\to0$ (esto es positivo, pero tiende a cero muy rápidamente).
La probabilidad puede ser calculada usando la reflexión principal (también ver mis comentarios y Douglas Zare, la respuesta a esta pregunta). Escrito $p(x)=(2\pi)^{-1/2}e^{-x^2/2}$ para la función de densidad de probabilidad de $B_1$ $f(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty(-1)^n1_{\{(2n-1)\epsilon < x < (2n+1)\epsilon\}}$ (que es un tipo de onda cuadradade la función),
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\mathbb{P}\left(\sup_{t\le1}\vert B_t\vert < \epsilon\right)=\mathbb{E}[f(B_1)]=\int_{-\infty}^\infty f(x)p(x)\,dx.\qquad{\rm(1)}
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Esta expresión proviene de la reflexión principio, que dice que reflexionar $B$ después de la primera hits $\pm\epsilon$ le da a otro el movimiento Browniano. Es decir, $\hat B_t\equiv B_t+1_{\{t\ge T\}}2(B_T-B_t)$ es un movimiento Browniano, donde $T$ es la primera vez en que $\vert B_T\vert=\epsilon$. Como $f$ es antisimétrica con respecto a ambos $\epsilon$$-\epsilon$, la suma de $f(B_1)+f(\hat B_1)$ se desvanece cuando $T\le1$. Por eso, $1_{\{T > 1\}}=(f(B_1)+f(\hat B_1))/2$, y teniendo la expectativa de da (1).
Usted puede realizar la integral en (1) directamente a expresar la probabilidad como una infinita suma acumulada de la distribución normal de la función, pero esta no es tan buena en el límite donde el $\epsilon$ es pequeña, ya que no tienen un único dominante plazo. Alternativamente, la integral en (1) puede ser escrita como $\int_{-\epsilon}^\epsilon\theta(x)\,dx$ donde $\theta(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty(-1)^np(x+2n\epsilon)$. Como $\theta$ periodo $4\epsilon$ usted puede escribir como una serie de Fourier, y la elaboración de los coeficientes da
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\theta(x)=\epsilon^{-1}\sum_{\substack{n > 0,\\n{\rm\ impar}}}\cos\left(\frac{n\pi x}{2\epsilon}\right)\exp\left(-\frac{n^2\pi^2}{8\epsilon^2}\right).
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Esta es una forma muy rápida convergencia de la suma, especialmente para las pequeñas $\epsilon$ (los términos se desvanecen más rápido que de manera exponencial en $n$). En realidad, $\theta$ es un theta de la función y la transformada de fourier es la misma cosa como la identidad de Jacobi. Integrar el plazo por el término da
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\mathbb{P}\left(\sup_{t\le1}\vert B_t\vert < \epsilon\right)=\sum_{\substack{n > 0,\\ n{\rm\ impar}}}\frac{4}{n\pi}(-1)^{(n-1)/2}\exp\left(-\frac{n^2\pi^2}{8\epsilon^2}\right)
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Como el primer término tiende a cero mucho más lentamente que la suma de los términos restantes (como $\epsilon\to0$) esto le da a la expresión asintótica
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\mathbb{P}\left(\sup_{t\le1}\vert B_t\vert < \epsilon\right)\sim\frac{4}{\pi}\exp\left(-\frac{\pi^2}{8\epsilon^2}\right).
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