Ejemplos de grupos finitos no abelianos.

Question

¿Puede alguien proporcionar algunos ejemplos de grupos finitos no abelianos que no sean grupos simétricos o grupos diedros?

Answer 1

Aquí hay un montón de ejemplos que he recogido de mis apuntes, textos de teoría de grupos y varios lugares de Internet. Esto se ha convertido en una especie de tratado, pero no obstante, espero que tú y otros los disfrutéis.

Generalizaciones conocidas.

• Grupos diédricos generalizados , denotado como $\mathcal{D}(A)$ o $\operatorname{Dih}(A)$ se forman dejando una involución (elemento de orden $2$ ) actúan sobre un grupo abeliano arbitrario $A$ por inversión. Así que, $D_{2n}=\operatorname{Dih}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$ .

• Otra hermana de los grupos diedros son los semidiédrico grupos. Todos ellos son $2$ -que se comportan de forma muy diferente a sus homólogos diédricos (véase la presentación).

• El grupo de cuaterniones $Q_8$ (que no debe confundirse con el álgebra de cuaterniones, relacionada pero no idéntica) es un Hamiltoniano grupo de orden $8$ . Está formado por tres subgrupos normales $\langle i \rangle$ , $\langle j \rangle$ y $\langle k \rangle$ que se cruzan en el orden $2$ centro $Z(Q_8)=\langle -1 \rangle$ . $Q_8$ es el primer contraejemplo que debes probar siempre que pienses que algo puede ser cierto. ( un ejemplo )

• El grupos de cuaterniones generalizados , denotado como $Q_{4n}$ para $n\geq 2$ , naturalmente se extiende la presentación del grupo de $Q_8$ a órdenes superiores. Lo importante de los grupos de cuaterniones generalizados es que tienen un único elemento de orden $2$ mientras que todos los demás $p$ -grupos con elementos únicos de orden $p$ son cíclicos.

  • Lo más fácil es entenderlos como el cociente del producto semidirecto $\mathbb{Z}_{2^n}\rtimes \mathbb{Z}_4$ por el subgrupo $\langle(2^{n-1},2)\rangle$ .

  • También puede realizar $Q_{4n}$ como el subgrupo de $\mathbb{H}^\times$ generado por $\cos(\pi/n)+\mathbf{i}\sin(\pi/n)$ y $\mathbf{j}$ , donde $\mathbb{H}$ denota el anillo (de división) de Cuaterniones hamiltonianos (con generadores $\mathbf{i},\mathbf{j},$ y $\mathbf{k}$ bajo las relaciones habituales). Esta construcción me pareció muy interesante

Me detendré aquí por un momento para señalar que los grupos diédricos, los grupos semidiédricos y los grupos de cuaterniones generalizados constituyen todos $2$ -grupos de clase máxima lo que hace que sea muy importante conocerlas para las personas que estudian $p$ -grupos.

• Incluso podemos generalizar los cuaterniones generalizados. Sustituyendo $\mathbb{Z}_{2^n}$ en la definición anterior con un grupo cíclico arbitrario $A$ de orden uniforme $n$ nos da la grupos díclicos , denotado como $\operatorname{Dic}(A)$ o $\operatorname{Dic}_n$ . Podemos adentrarnos aún más en el espacio exterior y definir el grupos dicíclicos generalizados $\operatorname{Dic}(A,y)$ permitiendo $A$ para ser cualquier grupo abeliano de orden par. (Para los grupos dicíclicos generalizados hay que especificar qué elemento $y\in A$ de orden $2$ se comporta como el único elemento de orden $2$ en el grupo de cuaterniones generalizado. Puedes leer sobre eso aquí .)

Grupos de matrices.

• $\operatorname{GL}_n(\mathbb{F}_q)$ es el grupo de transformaciones lineales de un $n$ -espacio vectorial de dimensiones sobre un campo finito $\mathbb{F}_q$ . El grupo lineal especial $\operatorname{SL}_n(\mathbb{F}_q)$ es el núcleo del homomorfismo $\operatorname{det}:\operatorname{GL}_n(\mathbb{F}_q)\rightarrow \mathbb{F}_q^{\hspace{1pt}\star}$ .

• $\operatorname{PGL}_n(\mathbb{F}_q)$ y $\operatorname{PSL}_n(\mathbb{F}_q)$ son sus contrapartes proyectivas, lo que esencialmente elimina los efectos de los escalares de $\operatorname{GL}_n(\mathbb{F}_q)$ y $\operatorname{SL}_n(\mathbb{F}_q)$ para centrarse en su estructura. $\operatorname{PSL}_n(\mathbb{F}_q)$ es simple para $n\geq 3$ o $q\geq 4$ (lo que significa que $\operatorname{SL}_n(\mathbb{F}_q)$ es cuasi simple).

• Grupos semilineales generales , escrito $\Gamma\!\operatorname{L}_n(\mathbb{F}_q)$ son extensiones divididas de $\operatorname{GL}_n(\mathbb{F}_q)$ por el grupo de Galois de $\mathbb{F}_q$ sobre su subcampo primo. Estos tienen contrapartes proyectivas también.

• Grupos de matrices unitriangulares (matrices triangulares superiores con $1$ en la diagonal) y grupos simplécticos son otros buenos grupos de matrices que hay que conocer.

Grupos de miedo.

• El grupos esporádicos son las cosas más temibles que acechan fuera de la pequeña burbuja feliz que son los grupos resolubles. Aquí es donde el Monstruo vida. En la mayoría de los casos, la comprensión de la estructura de estos grupos requiere esotérico maquinaria Así que yo evitaría estos hasta que seas realmente bueno en la teoría de grupos.

Por cierto, cualquier grupo simple no abeliano es un grupo alterno, un $\operatorname{PSL}$ u otros grupo de tipo Lie o un grupo esporádico. Para averiguarlo, me costó alrededor de $110$ años de brujería concentrada que es divertido de leer si te gusta la historia de las matemáticas.

Grupos de Frobenius.

• Grupos de Frobenius se componen de dos partes: un subgrupo normal $N$ llamado núcleo de Frobenius, sobre el que actúa un subgrupo $K$ el complemento de Frobenius, con la propiedad definitoria de que $K$ actúa sobre $N$ punto fijo libremente - es decir, $n^k\ne n$ para todos los elementos no identitarios $n\in N,k\in K$ . Un ejemplo es $S_3$ para el que el núcleo es generado por el $3$ -y el complemento es generado por (su elección) un $2$ -ciclo. La estructura de los grupos de Frobenius se entiende bien - como resulta, $N$ debe ser nilpotente, y los subgrupos Sylow de $K$ debe ser cíclico o cuaternión generalizado.

Los grupos de Frobenius también son objeto de un importante teorema en teoría de la representación que demuestra que una definición alternativa es equivalente a la estándar. Personalmente, esta definición alternativa no me parece especialmente ilustrativa, pero la prueba de este teorema demuestra lo poderosa que puede ser la teoría de la representación.

• $2$ -Los grupos Frobenius son grupos $G$ que tienen algún subgrupo $F$ que es un grupo de Frobenius con núcleo $K$ que es normal en $G$ para lo cual $G/K$ es también un grupo de Frobenius. Un ejemplo de esto es $S_4$ , donde $F=A_4$ (el subgrupo $K$ generado por las permutaciones $(12)(34)$ y $(13)(24)$ actúan sobre el punto fijo libremente por $\langle (123) \rangle$ ) y $G/K\cong S_3$ .

Frobenius y $2$ -Los grupos de Frobenius son importantes para los órdenes de los elementos. Siempre que un grupo soluble $G$ carece de un elemento de orden $pq$ , donde $p$ y $q$ son primos que dividen a $|G|$ El Salón $\{p,q\}$ subgrupos de $G$ (subgrupos de orden $p^aq^b$ con índice coprimo a su orden) son de Frobenius o $2$ -Frobenius.

$2$ -Los grupos de Frobenius también fueron importantes en la demostración de la Teorema del orden impar que derivó una contradicción al mostrar que un grupo no resoluble con orden impar tendría que contener ciertas $2$ -Frobenius agrupa de una manera que no era posible.

• Grupos Zassenhaus están algo relacionados con los grupos de Frobenius en el sentido de que se definen contando puntos fijos de su acción sobre un conjunto. (Pronto incluiré más información al respecto).

Familias geniales de $p$ -grupos.

$p$ -los grupos son grupos de orden de potencia primo $p^n$ . Ya vimos algunas familias de $2$ -en la primera sección; aquí hablaremos de familias de $p$ -grupos de donde $p$ no es necesariamente uniforme.

• A grupo especial es un $p$ -grupo $G$ en el que los subgrupos central, derivado y Frattini coinciden ( $Z(G)=G^\prime=\Phi(G)$ ). Si estos subgrupos son cíclicos de orden $p$ llamamos al grupo extraespecial . La combinación de estas propiedades da lugar a algunos comportamientos teóricos de representación muy interesantes. En grupos especiales, el mapa conmutador de $G/Z(G)\times G/Z(G)\rightarrow G^\prime$ satisface $[g,hk]=[g,h][g,k]$ por lo que en grupos extraespeciales se puede considerar como una forma bilineal sobre $\mathbb{F}_p$ (que, como resulta, es sesgado-simétrico, alterno y no singular). Si $p$ resulta ser $2$ podemos demostrar además que el mapa de cuadratura es una forma cuadrática. Puedes leer más sobre esto en $\oint 3.10$ de los Grupos Simples Finitos de Wilson, que puede verse en un ver en la web. Obsérvese también que es particularmente fácil clasificar las clases de conjugación de los grupos extraespaciales, por lo que a menudo son un buen campo de pruebas para las conjeturas en teoría de la representación.

Algunos favoritos de mi caja de herramientas.

• $M_{16}$ , el grupo con el nombre más chulo, es el ejemplo más pequeño de un grupo con dos subgrupos característicos distintos isomorfos, y por tanto otro gran grupo contraejemplo. $M_{16}$ está bastante cerca de ser abeliano - es sólo $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_8$ con un pequeño "giro".

• El grupo octaédrico es la simetría de un octaedro. Tengo debilidad por el grupo octaédrico binario $2\mathcal{O}$ que tiene orden $48$ y se construye sustituyendo ciertos elementos de $\operatorname{GL}_2(\mathbb{F}_3)$ con múltiplos escalares en $\operatorname{GL}_2(\mathbb{F}_9)$ . (Recientemente me enteré por un coautor que Marty Isaacs se refiere a este grupo como "falso $\operatorname{GL}(2,3)$ ", lo que me parece divertidísimo).

• $\Gamma$ son la versión de transformación afín de $\Gamma\operatorname{L}_n(\mathbb{F}_q)$ . Me gusta tomar pequeños subgrupos de una dimensión $\Gamma$ cuando quiero un grupo muy no abeliano en el que todavía puedo escribir fácilmente la aritmética.

• Mi segundo grupo matriz favorito es el Grupo Valentiner , isomorfo a $\operatorname{PGL}_3(\mathbb{F}_4)$ . Mi grupo esporádico favorito es el Grupo Thompson .

• Soy un gran fan de hacer grupos de Frobenius de la forma $\mathbb{Z}_{p}\rtimes \mathbb{Z}_q$ (y $2$ -Grupos de Frobenius de la forma $(\mathbb{Z}_{p}\rtimes \mathbb{Z}_q)\rtimes \mathbb{Z}_r$ ), donde $p,q,r$ son primos que satisfacen (necesariamente) $p\equiv 1 \pmod q$ (y $p\equiv 1 \pmod {qr})$ . Necesitamos un grupo no abeliano fácil de orden $21$ ? Boom, hecho.

• Otra clase de grupos de Frobenius particularmente agradable y fácil son los de la forma $C_p\rtimes C_{p-1}$ , donde $p$ es un primo de impar, también conocido como el holomorfo de $C_p$ , $\operatorname{Hol}(C_p)$ . Estos grupos surgen naturalmente en la teoría de Galois como el grupo de Galois de $\mathbb{Q}\left(2^{1/p},\xi\right)$ el campo de división de $x^p-2$ en $\mathbb{Q}$ . (Aquí, $\xi$ es un $p^\text{th}$ raíz de la unidad). En este caso, el conjunto de generadores más obvio es $$\sigma:\left\{\begin{array}{l}2^{1/p}\mapsto \xi 2^{1/p}\\ \xi\mapsto \xi\end{array}\right.\hspace{15pt}\text{and}\hspace{15pt}\tau:\left\{\begin{array}{l}2^{1/p}\mapsto 2^{1/p}\\ \xi \mapsto \xi^m\end{array}\right.$$ donde $m$ tiene orden $p-1$ mod $p$ .

• Para una abstracción del ejemplo anterior, consulte Grupos Z Los grupos con todos los subgrupos Sylow son todos cíclicos. Están relacionados con los grupos extraespeciales y Grupos Zassenhaus y tienden a ser buenos ejemplos en la teoría del carácter. Como la mayoría de las cosas con teoría de caracteres bien entendida, los grupos Z surgieron mucho en los trabajos que llevaron al teorema de la Clasificación.

• Cubiertas dobles y triples de grupos alternos aparecen como contraejemplos en la teoría de grupos finitos a menudo.

Hazlo tú mismo.

• Puede tomar productos para coronas de cualquiera de los grupos no abelianos anteriores para obtener grupos de aspecto muy extraño. (El otro día $(S_p\wr S_p)\wr S_p$ surgió en el chat).

• Si sabes algo sobre los automorfismos de un grupo $G$ , puede tomar productos semidirectos $G\rtimes H$ con otros grupos $H$ (normalmente los que se incrustan en $\operatorname{Aut}(G)$ ). En particular, holomorfos puede ser una forma fácil de hacer nuevos grupos con una aritmética sencilla.

• Si dos grupos $H$ y $K$ tienen subgrupos centrales isomorfos $Z_1\leq Z(H)$ y $Z_2\leq Z(K)$ puede tomar el (externo) producto central de $H$ y $K$ , escrito $H{\small\text{ Y }} K$ . Esto se hace identificando puntos en $Z_1$ con los puntos correspondientes en $Z_2$ entonces tomando el cociente de $H\times K$ por este subgrupo central diagonal. (Explícitamente, si $\theta:Z_1\rightarrow Z_2$ es un isomorfismo, sea $Z=\{(z,\theta(z)^{-1}):z\in Z_1\}$ y $H{\small\text{ Y }} K=\left(H\times K\right)/Z$ .) Hay una rica teoría detrás de los productos centrales, y se pueden hacer algunas cosas ingeniosas con ellos. ( ejemplo )

• Si quieres darle un dolor de cabeza a un teórico de grupos, toma un producto directo con un componente de cada una de las categorías anteriores, cúbrelo consigo mismo y pregúntale por la estructura de su Sylow $2$ -subgrupo.

Answer 2

El grupo de simetría de 168 elementos del Plano de Fano que es el ejemplo más pequeño de un simple grupo que no es abeliano (cíclico) ni está cubierto por la respuesta de meh (alternante). Y, por supuesto, es sólo el miembro más pequeño de una familia más grande ;)

Answer 3

El grupo de simetría del cubo de rubiks no es abeliano, ¡si no sería fácil resolver uno!

Answer 4

Tome cualquier grupo $G$ y cualquier grupo simétrico $S_n$ con $n\ge 3$ . Entonces $G \times S_n$ no es abeliano, incluso si $G$ es abeliana.

Answer 5

El grupo de cuaterniones es no abeliano y de orden 8.