Dado$f(x)=x(x-1)(x-2)...(x-10)$ ¿cuál es el derivado$f'(0)$?

Question

$f: \Bbb R \to \Bbb R; x \mapsto f(x)=x(x-1)(x-2)...(x-10)$ Evaluar $f'(0)$!

Por favor, me podrían ayudar con este ejercicio? He tratado de establecer los factores aparte, pero yo sólo sé que $(fg)'=f'g+fg'$. Yo no sé cómo debo aplicar la regla para cualquier n cantidad de factores. También he pensado en realizar la multiplicación, pero no sé qué de acceso directo que debo usar, y multiplicating una después de la otra toma muy largo.

Gracias por su ayuda de antemano!

(PS ¿Cómo puedo dar formato a texto aquí para ver legible como por ejemplo, las matemáticas ecuaciones? Creo que en mi post es difícil de resolver, ya que no hay saltos de línea. Lo siento.)

Answer 1

Aplicar la definición: $$ f'(0)=\lim{x\to0}\frac{f(x)-f(0)} {x-0} = \lim{x\to0}\,(x-1)(x-2)\dots(x-10) = 10! $$ Más en general, si $f(x)=x(x-1)\dots(x-n)$, el mismo argumento muestra $$ f'(0) =(-1) ^ n de n\cdot! $$

Answer 2

Bienvenidos a matemáticas SE. Para dar formato a su pregunta puede utilizar látex.

Ahora que viene a tu pregunta, el derivado de un producto es sólo la suma de los $n$ productos donde sólo uno de los miembros es distinguido. En su caso

$((x)... (x-10))' = [(x-1)...(x-10)]+[x(x-2)...(x-10)]+...+[x(x-1)...(x-9)]$

Tenga en cuenta que todos pero la primera expresión evaluará a $0$ $x=0$ ya que está multiplicando por 0 ($x$) así $f'(0)=(-1)(-2)...(-10)=10!$

Answer 3

Sugerencia: Un polinomio es siempre una función entera y en un barrio de origen: $$ x(x-1)\cdot\ldots\cdot(x-10) = 10!\,x+O(x^2) $ $ por lo tanto, $$ \frac{d}{dx}\left. x(x-1)\cdot\ldots\cdot(x-10)\right|_{x=0} = \color{red}{10!}. $ $

Answer 4

Que $g(x) = x$ y $h(x) = (x-1)\cdots (x-10)$. Entonces $f'(x) = g(x) h'(x) + g'(x)h(x)$. Desde $g(0)=0$ y $g'(0)=1$, tenemos $$f'(0) = h(0) = (-1)(-2)\cdots (-10) = 10!$ $

Answer 5

Hay una versión de $n$-término de la regla de producto que merece la pena conocer. Usted verá el patrón de la caja de $n = 3$. Si $f(x) = f_1(x) f_2(x) f_3(x)$, entonces \begin{equation} f'(x) = f_1'(x) f_2(x) f_3(x) + f_1(x) f_2'(x) f_3(x) + f_1(x) f_2(x) f_3'(x). \end{equation} (¿ves cuál sería la fórmula para un producto de cuatro funciones?)

En su caso, $f'(x)$ es una suma de términos de $11$ y todos sino uno de esos términos se desvanecen cuando se conecta en $x = 0$.

Richard Feynman hizo una gran cosa acerca de la utilidad de esta regla de producto $n$-término en los consejos de Feynman en la física.