Consecuencias de la dualidad Pontryagin?

Question

¿Cuáles son algunos corolarios y consecuencias interesantes del teorema de la Dualidad de Pontryagin? Mi pregunta puede tomarse de la manera más amplia que desee, incluso hasta incluir cualquier filosofía introducida específicamente por el teorema. Pero, por supuesto, los ejemplos y las consecuencias específicas serían muy apreciados.

Answer 1

Un corolario es que cada finito abelian grupo es un grupo de personajes, es decir, $G$ es (isomorfo a) el grupo de personajes de su doble $\widehat G$. Además, por muchas declaraciones que involucran elementos de $G$ y su carácter de grupo $\widehat G$ hay una doble declaración por el cambio de los roles de $G$$\widehat G$. Por ejemplo, en la declaración trivial $$\forall \chi \in \widehat G \left( \chi = 1 \Leftrightarrow \forall g \in G: \chi(g) = 1 \right).$$ Aplicar esta declaración con $\widehat G$ en lugar de $G$ para obtener $$\forall f \in \widehat{\widehat{G}} \left( f = 1 \Leftrightarrow \forall \chi \in \widehat G: f(\chi) = 1 \right),$$ que, por la dualidad de Pontryagin, es equivalente a $$\forall g \in G\left( g = 1 \Leftrightarrow \forall \chi \in \widehat G: \chi(g) = 1\right),$$ así se han mostrado $\bigcap_{\chi \in \widehat G} \ker \chi = 1$.

Otro ejemplo: Tome la declaración $$\forall g \in G \left( g \in G^m \Leftrightarrow \forall \chi \in \widehat G: (\chi^m = 1 \Rightarrow \chi(g) = 1) \right)$$ que es fácil de probar utilizando el resultado en el primer ejemplo. Por el cambio de los roles de $G$ $\widehat G$ obtener la doble declaración de $$\forall \chi \in \widehat G \left( \chi \in \widehat{G}^m \Leftrightarrow \forall g \in G: (g^m = 1 \Rightarrow \chi(g) = 1 \right).$$