Cómo puedo encontrar sólo las soluciones impares para la ecuación de Pell: $$x^2 - Dy^2 = 1$$ Specifically where $x $ is odd (but $y$ puede ser par o impar).
¿Hay una manera para generar las soluciones impares a $x$, y pueden ser finitos?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Por el algoritmo estándar para la resolución de Pells ecuación, se encuentra una recurrencia lineal de la $n$-th solución de $x_n, y_n$. Estas fórmulas no son demasiado difíciles para el trabajo a mano, y se originan a partir de $x_n + \sqrt{D}y_n = (x_1+\sqrt{D}y_1)^n$ donde $x_1,y_1$ es la solución básica. La fórmula resultante parece ser: $$ x_{n} = x_{n-1} + D b y_{n-1} \\ y_{n} = y_{n-1} + b x_{n-1} $$ donde $(a,b) = (x_1,y_1)$.
Esto significa, en particular, que la paridad de la $x_{n+1},y_{n+1}$ es determinada solamente por la paridad de $x_n, y_n$. Por lo tanto, la paridad es periódica, con periodo en la mayoría de las $4$. Usted puede simplemente escribir el menor par de soluciones, y usar esto para determinar cuánto tiempo el periodo, y los términos que usted necesita para seleccionar. Si $x_n,y_n$ es la primera pareja con la misma paridad que $x_1,y_1$, entonces el período es sólo $n-1$, y las soluciones con $x$ impares son solo estas de la forma $k (n-1) + m$ $k$ es un número entero y $1 \leq m < n$ tal que $x_m$ es impar. En particular, $x$ nunca es impar, o es extraño infinitamente a menudo.
