Medida de Lebesgue de una intersección de cuatro conjuntos que están contenidos en [0,1]

Question

Permita que$A_1,A_2,A_3, A_4$ sean subconjuntos mensurables de$[0,1]$, de modo que$\displaystyle\sum_{k=1}^{4}m(A_k)>3$. Pruebalo
$$ m \ left (\ bigcap_ {k = 1} ^ {4} A_k \ right)> 0. $$

Answer 1

Deje que el superíndice$c$ denote el complemento en$[0,1]$. Recordar que $m(A)=1-m(A^c)$. Entonces$$ m\left(\bigcap_{i=1}^4A_i\right)=1-m\left(\bigcup_{i=1}^4A_i^c\right)\geq 1-\sum_{i=1}^4 m(A_i^c)$ $$$=\sum_{i=1}^4 m(A_i)-3>0.$ $

La última desigualdad se sigue de nuestra asunción inicial.