Acción del álgebra de Weyl en espacio del vector de polinomios, módulo cíclico.

Question

Que $k$ sea un campo de $\text{char}\,k \neq 2$. Para cualquier $n \ge 1$, definir un $k$-álgebra $A_n(k)$, $2n$ generadores, como un cociente de la álgebra libre $k\langle x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n\rangle$ por el ideal bilateral generado por el conjunto de $${x_iy_j - y_jxi - \delta{ij},\,x_i x_j - x_jx_i, \,y_iy_j - y_jyi, \, i , j = 1, \ldots, n}, \quad \delta{ij} := \begin{cases} 1 & \text{if }i = j \ 0 & \text{if }i \neq j.\end{cases}$$We define an $ A_n (k) $-action on the vector space $M: = k [t_1, \ldots, t_n] $ as follows:$% $$x_i \text{ acts as }{\partial\over{\partial t_i}}, \quad \text{resp. }y_i\text{ acts as multiplication by }t_i, \quad \forall i = 1, \ldots, n.$tengo dos preguntas.

1. ¿Cómo ver que esta acción hace $M$ un cíclico $A_n(k)$-módulo?
2. ¿Cómo ve escribir este módulo en el % de forma $M = A_n(k)/I$para un adecuado % ideal izquierdo $I \subset A_n(k)$?

Answer 1

Para el 1, sólo tenga en cuenta que actuando con la $y_i$ ya genera $M$, ya $f\in M$, tenemos $$f(y_1,\ldots,y_n).1=f(t_1,\ldots,t_n).$$ Para el 2, el ideal en cuestión es el ideal generado por a $(x_1,\ldots,x_n)$. Para ver esto, vamos a $$\phi: A_n(k)\to M$$ ser el mapa definido por $\phi(X)=X.1$ donde $X\in A_n(k)$ (por lo que el mapa es "actuar en $1$"). Así, es fácil comprobar que $\phi$ es un módulo de homomorphism desde $$\phi(X_1X_2)=(X_1X_2).1=X_1.(X_2.1)=X_1.\phi(X_2).$$ Como este mapa es surjective (1) se deduce que $M\cong A_n(k)/\ker\phi$ por el primer teorema de isomorfismo. Para demostrar que $\ker\phi=(x_1,\ldots,x_n)$, es necesario desarrollar una base teorema: el conjunto $$\{y_1^{r_1}\cdots y_n^{r_n}x_1^{s_1}\cdots x_n^{s_n}\mid r_i,s_j\in\mathbb{Z}_+\}$$ es una base. Una vez que sepas esto, usted puede ver que la única base de los elementos que no son asesinados por $\phi$ son aquellos para los cuales $s_1=\cdots=s_n=0$.